בגרות – גרר מראש מגדל

פתרון: בגרות קיץ תשע"ג 2013, מכניקה (שאלון 036201+656), שאלה 2

גוף נופל מראש מגדל גבוה, מתוך מנוחה. גודל כוח החיכוך עם האוויר נתון על ידי הביטוי \( f=kv^2 \), כאשר \( v \) היא מהירות הגוף ו-\( k \) קבוע התלוי במאפייני הגוף.

א. יחידות k

מכיוון ש-\( f=kv^2 \), ומידות הכוח הן ניוטון (\( \mathrm{kg\cdot m/s^2} \)) ומידות \( v^2 \) הן \( \mathrm{m^2/s^2} \):

$$ [k]=\frac{[f]}{[v^2]}=\frac{\mathrm{kg\cdot m/s^2}}{\mathrm{m^2/s^2}}=\mathrm{kg/m} $$

ב. האם התנועה היא נפילה חופשית?

"נפילה חופשית" מוגדרת כתנועה שבה הכוח היחיד הפועל על הגוף הוא כוח הכובד (המשקל) - ללא כל כוח נוסף (כמו חיכוך עם האוויר), וכתוצאה מכך התאוצה קבועה ושווה ל-\( g \).

תנועת הגוף הנתון אינה נפילה חופשית, מכיוון שבנוסף למשקל פועל עליו גם כוח חיכוך עם האוויר \( f=kv^2 \), שגודלו תלוי במהירות ואינו אפס (כל עוד \( v>0 \)). לכן התאוצה של הגוף אינה קבועה (וגם אינה שווה ל-\( g \)) לאורך כל התנועה.

ג. תרשים כוחות והסבר למהירות קבועה

הכוחות הפועלים על הגוף בזמן נפילתו: המשקל \( mg \) (כלפי מטה, קבוע), וכוח החיכוך עם האוויר \( f=kv^2 \) (כלפי מעלה - מנוגד לכיוון התנועה, וגודלו גדל ככל שהמהירות גדלה).

הסבר לאפשרות של תנועה במהירות קבועה: בתחילת הנפילה \( v \) קטנה ולכן \( f=kv^2 \) קטן בהרבה מ-\( mg \), כך שהכוח השקול כלפי מטה גדול והגוף מאיץ. ככל שהמהירות גדלה, כוח החיכוך \( kv^2 \) גדל גם הוא, והכוח השקול (וכתוצאה מכך התאוצה) הולך וקטן. במוקדם או במאוחר, כוח החיכוך יכול לגדול עד שהוא שווה בגודלו למשקל (\( kv^2=mg \)) - ואז הכוח השקול על הגוף מתאפס, התאוצה מתאפסת, והגוף ממשיך לנוע הלאה במהירות קבועה (מה שנקרא "מהירות סופית").

ד. גודל המהירות הקבועה

נתון: \( m=10\ \mathrm{kg} \), \( k=0.25\ \mathrm{kg/m} \) (ביחידות שחושבו בסעיף א'). ברגע שהמהירות קבועה, הכוח השקול מתאפס:

$$ mg = kv^2 \quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{10\times10}{0.25}}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m/s} $$

ה. גרף המהירות כפונקציה של הזמן

הגרף מתחיל באפס (ברגע השחרור, \( v=0 \)), ועולה בעקומה שהשיפוע שלה הולך וקטן עם הזמן (קעורה כלפי מטה) - כלומר התאוצה גדולה בהתחלה וקטנה בהדרגה, שכן ככל שהמהירות גדלה כוח החיכוך מתקרב לכוח המשקל. העקומה מתקרבת אסימפטוטית לערך המהירות הסופית (\( v=20\ \mathrm{m/s} \) לפי סעיף ד'), ולאחר שהיא מגיעה אליו בפועל, הגרף הופך לקו אופקי (ישר) באותו גובה עד רגע הפגיעה בקרקע. אין לסמן ערכים על ציר הזמן, בהתאם להוראות השאלה.