בגרות – מרוץ מכוניות

שני תלמידים מתחרים במרוץ מכוניות לאורך מסלול ישר. שתי המכוניות, א' ו-ב', יוצאות ממנוחה, מאותו מקום, באותו זמן ובאותו כיוון. מכונית א' חוצה את קו הסיום לאחר 60 שניות.

א. גרף התאוצה של מכונית א'

התאוצה בכל קטע היא שיפוע גרף המהירות-זמן של מכונית א':

• \( 0 \le t \le 10 \): \( a = \dfrac{6-0}{10} = 0.6\ m/s^2 \)
• \( 10 \le t \le 50 \): \( a = \dfrac{10-6}{40} = 0.1\ m/s^2 \)
• \( 50 \le t \le 60 \): מהירות קבועה, \( a = 0 \)

ב. המרחק שעברה מכונית א' עד קו הסיום

המרחק שווה לשטח מתחת לגרף המהירות-זמן של מכונית א', בשלושת הקטעים:

$$ 0.5\times10\times6 + 0.5\times(6+10)\times40 + 10\times10 = 30+320+100 = 450\ m $$

אורך המסלול הוא \( 450\ m \).

ג. המרחק שעברה כל אחת מהמכוניות ב-30 השניות הראשונות

מכונית א' (עד \( t=30 \), מהירותה שם \( v=6+0.1\times20=8\ m/s \)):

$$ 0.5\times10\times6 + 0.5\times(6+8)\times20 = 30+140 = 170\ m $$

מכונית ב' (זהו כל הקטע המתואר בגרף ב'):

$$ 0.5\times10\times2 + 0.5\times(2+10)\times20 = 10+120 = 130\ m $$

ד. האם המכוניות נמצאו באותו מקום במהלך המרוץ

בסעיף ג' מצאנו שב-\( t=30\ s \) מכונית א' כבר לפני מכונית ב' במרחק של \( 170-130=40\ m \). אבל מכונית ב' ממשיכה לנוע וחוצה את קו הסיום (\( 450\ m \)) ב-\( t=58\ s \) - שתי שניות לפני מכונית א', שמגיעה רק ב-\( t=60\ s \). זה אומר שב-\( t=58\ s \) מכונית ב' כבר בקצה המסלול (\( 450\ m \)), בזמן שמכונית א' עדיין לא הגיעה לשם - כלומר מכונית ב' כבר לפני מכונית א'.

מכיוון שבמעבר מ-\( t=30 \) (מכונית א' לפני) ל-\( t=58 \) (מכונית ב' לפני) הפער בין המכוניות התהפך, בהכרח היה רגע בין \( t=30 \) ל-\( t=58 \) שבו שתי המכוניות היו באותו מקום בדיוק - זה הרגע שבו מכונית ב' עוקפת את מכונית א'.

ה. תאוצת מכונית ב' בקטע האחרון

הקטע האחרון של מכונית ב' נמשך מ-\( t=30\ s \) (שם מהירותה \( v_0=10\ m/s \)) עד שהיא מגיעה לקו הסיום ב-\( t=58\ s \) - כלומר משך של \( 28\ s \).

המרחק שנותר לה לעבור בקטע הזה:

$$ 450-130 = 320\ m $$

מציבים בנוסחת המיקום עם תאוצה קבועה:

$$ 320 = 10\times28 + \frac{1}{2}a\times28^2 $$

$$ 320 = 280 + 392a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{40}{392} \approx 0.10\ m/s^2 $$