בגרות – שתי מכוניות מתקרבות

מכונית א' חלפה בנקודה \( A \) ברגע \( t=0 \) במהירות \( 30\ \mathrm{m/s} \), ומאותו רגע החלה להאט בקצב קבוע עד לעצירתה. באותו הרגע החלה מכונית ב' לנוע ממנוחה מנקודה \( B \) לכיוון מכונית א', כשהן מתקרבות זו לזו. ציר \( x \) חיובי ימינה, וראשיתו בנקודה \( A \).

א. כיוון התאוצה של שתי המכוניות

מכונית א' נעה בכיוון החיובי ומאטה - כלומר תאוצתה שלילית (מנוגדת למהירותה). מכונית ב' יוצאת ממנוחה ומתקרבת למכונית א', כלומר נעה בכיוון השלילי, וגודל מהירותה (בכיוון השלילי) הולך וגדל - כלומר תאוצתה גם היא שלילית (באותו כיוון של מהירותה). לכן שתי המכוניות נעות בתאוצה שלילית.

ב. זמן העצירה של מכונית א'

מכונית א' מאטה בקצב \( 2\ \mathrm{m/s^2} \):

$$ v_A(t) = 30 - 2t $$

עוצרת כאשר \( v_A(t)=0 \):

$$ 0 = 30-2t \quad\Rightarrow\quad t=15\ \mathrm{s} $$

ג. המרחק בין נקודת העצירה של מכונית א' לבין הנקודה A

$$ x_A(15) = 30\times15 - \tfrac12\times2\times15^2 = 450-225 = 225\ \mathrm{m} $$

ד. תאוצת מכונית ב' במהלך הבלימה

מכונית ב' מאיצה ממנוחה בקצב \( 3\ \mathrm{m/s^2} \) במשך 10 השניות הראשונות, ולכן ברגע \( t=10\ \mathrm{s} \) מהירותה \( 30\ \mathrm{m/s} \). מאחר שהיא עוצרת באותו רגע שבו נעצרת מכונית א' (\( t=15\ \mathrm{s} \)), משך הבלימה הוא 5 שניות:

$$ a = \frac{0-30}{5} = -6\ \mathrm{m/s^2} $$

גודל התאוצה במהלך הבלימה הוא \( 6\ \mathrm{m/s^2} \).

ה. המרחק AB

המרחק שעברה מכונית ב' עד לעצירתה מורכב משני שלבים.

שלב ההאצה (0 עד 10s):

$$ s_1 = \tfrac12\times3\times10^2 = 150\ \mathrm{m} $$

שלב הבלימה (10s עד 15s):

$$ s_2 = \frac{30+0}{2}\times5 = 75\ \mathrm{m} $$

סך המרחק שעברה מכונית ב':

$$ s_1+s_2 = 150+75 = 225\ \mathrm{m} $$

מכיוון ששתי המכוניות נעצרות באותו מקום (\( x=225\ \mathrm{m} \) מנקודה \( A \), לפי סעיף ג'), והמרחק שעברה מכונית ב' הוא 225 מ' לכיוון מכונית א':

$$ AB = 225+225 = 450\ \mathrm{m} $$

ו. גרפי המהירות של שתי המכוניות

מכונית א': קו ישר יורד מ-\( (0,30) \) ל-\( (15,0) \), בתחום החיובי של המהירות.

מכונית ב': מהירותה שלילית לאורך כל התנועה. מ-\( t=0 \) עד \( t=10\ \mathrm{s} \) המהירות יורדת בקו ישר מ-0 ל-\( -30\ \mathrm{m/s} \) (מאיצה). מ-\( t=10\ \mathrm{s} \) עד \( t=15\ \mathrm{s} \) המהירות עולה בקו ישר בחזרה מ-\( -30\ \mathrm{m/s} \) ל-0 (בולמת). שני הגרפים משורטטים על אותה מערכת צירים: הגרף של מכונית א' כולו מעל ציר הזמן, והגרף של מכונית ב' כולו מתחתיו, ושניהם נפגשים בציר הזמן בדיוק ב-\( t=15\ \mathrm{s} \).