בגרות – ממסילה חלקה לזריקה אופקית

אורי חוקר תנועה על מסילה חלקה AB המחוברת לשולחן שגובהו H. הקצה התחתון של המסילה אופקי ומגיע בדיוק לקצה השולחן, כמתואר בתרשים א'. אורי מבצע ניסוי שבו הוא "יורה" כדור קטן על המסילה במהירות התחלתית \( v_0 \) שגודלה וכיוונה משיק למסילה.

הכדור נע לאורך המסילה עד שמגיע לקצה השולחן B, וממשיך בתנועתו באוויר עד שפוגע ברצפה. אורי מדד את המרחק האופקי x מקצה השולחן עד נקודת הפגיעה כמה פעמים, ובכל פעם שינה את הגובה h שממנו "נורה" הכדור, אך גודל המהירות ההתחלתית \( v_0 \) נשאר קבוע (וכיוון המהירות משיק למסילה). בתרשים ב' מוצג גרף \( x^2 \) כפונקציה של h.

א. הוכחת הקשר בין x² ל-h

שימור אנרגיה לאורך המסילה החלקה, מהנקודה שבה נורה הכדור (גובה h מעל השולחן) ועד לקצה השולחן B:

$$ \tfrac12 m v_0^2 + mgh = \tfrac12 m v_B^2 \quad\Rightarrow\quad v_B^2 = v_0^2 + 2gh $$

מקצה השולחן, הכדור מבצע זריקה אופקית מגובה H: זמן הנפילה \( t=\sqrt{2H/g} \), והמרחק האופקי \( x=v_Bt \). מעלים בריבוע ומציבים:

$$ x^2 = v_B^2\cdot\frac{2H}{g} = (v_0^2+2gh)\cdot\frac{2H}{g} = \frac{2H}{g}v_0^2 + 4Hh $$

ב. מדוע שיפוע הגרף מייצג 4H

הביטוי שהתקבל, \( x^2=\dfrac{2H}{g}v_0^2+4Hh \), הוא משוואת קו ישר במשתנים \( x^2 \) (ציר אנכי) ו-h (ציר אופקי), מהצורה \( y=mx+c \). המקדם של h במשוואה הוא \( 4H \) - וזהו בדיוק השיפוע של קו ישר כזה.

ג. גובה השולחן H

מהגרף: חיתוך הציר האנכי (ב-h=0) הוא \( x^2\approx1\ \mathrm{m^2} \), והישר עולה עד \( x^2\approx11\ \mathrm{m^2} \) ב-\( h=2.0\ \mathrm{m} \). השיפוע:

$$ \text{slope} = \frac{11-1}{2.0-0} = 5\ \mathrm{m} $$

$$ 4H = 5 \quad\Rightarrow\quad H = 1.25\ \mathrm{m} $$

ד. גודל המהירות ההתחלתית v₀

חיתוך הציר האנכי שווה ל-\( \dfrac{2H}{g}v_0^2 \), וקראנו מהגרף שערכו \( 1\ \mathrm{m^2} \):

$$ \frac{2H}{g}v_0^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad v_0^2 = \frac{g}{2H} = \frac{10}{2\times1.25} = 4 \quad\Rightarrow\quad v_0 = 2\ \mathrm{m/s} $$

ה. הוכחה שהכדורים ייפגשו לפני הפגיעה בקרקע

באחת הפעמים, אורי ירה את הכדור מהגובה \( h=0.5\ \mathrm{m} \). ברגע שהכדור עזב את קצה המסילה, שחרר עוזר של אורי כדור נוסף ממנוחה, מגובה H מעל הקרקע, במרחק אופקי של \( 1.5\ \mathrm{m} \) מקצה השולחן.

מהירות הכדור הראשון בקצה השולחן (מסעיף א', עם \( h=0.5\ \mathrm{m} \)):

$$ v_B^2 = v_0^2+2gh = 4 + 2\times10\times0.5 = 14 \quad\Rightarrow\quad v_B=\sqrt{14}\ \mathrm{m/s} \approx 3.74\ \mathrm{m/s} $$

עקרון ההוכחה: אילו לא פעלה כבידה כלל, הכדור הראשון (הנע אופקית במהירות \( v_B \)) היה מגיע בדיוק למיקומו ההתחלתי של הכדור השני - שהרי שניהם נמצאים באותו גובה H, והכיוון האופקי מכוון בדיוק אליו. הכבידה משפיעה באותה מידה בדיוק על שני הכדורים (אותה תאוצה g, ללא תלות במהירות או במסה) - כך ששניהם "נופלים" אותו מרחק אנכי נוסף ביחס למסלול היפותטי זה, באותו זמן נתון. לכן המפגש האופקי מובטח, ללא תלות בכבידה.

נותר לוודא שהמפגש קורה לפני שמי מהכדורים מגיע לקרקע. זמן ההגעה למרחק האופקי של הכדור השני:

$$ t = \frac{1.5}{v_B} = \frac{1.5}{\sqrt{14}} \approx 0.401\ \mathrm{s} $$

הירידה האנכית של כל אחד מהכדורים בזמן זה:

$$ \Delta y = \tfrac12 g t^2 = \tfrac12\times10\times0.401^2 \approx 0.80\ \mathrm{m} $$

מכיוון ש-\( \Delta y \approx 0.80\ \mathrm{m} \) קטן מ-\( H=1.25\ \mathrm{m} \), שני הכדורים עדיין נמצאים מעל הקרקע בזמן זה - ולכן הם אכן נפגשים לפני שהם פוגעים בקרקע.