בגרות – קפיצת באנג’י

יצחק, קופץ באנג'י מנוסה, עומד לבצע קפיצה מקורה שנמצאת בגובה \( 77\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע. יצחק קשור במותניו לקפיץ, שבמצבו הרפוי מחובר בצדו האחר לקורה. מסתו של יצחק \( m=60\ \mathrm{kg} \), קבוע הכוח של הקפיץ \( k=100\ \mathrm{N/m} \). יצחק נופל מקצה הקורה בנפילה חופשית אנכית; מנקודה מסוימת במהלך תנועתו הקפיץ מתחיל להימתח, וברגע שיצחק מגיע לגובה \( 2\ \mathrm{m} \) מהקרקע (הנקודה הנמוכה ביותר בתנועתו) הקפיץ מחזיר אותו כלפי מעלה. יש להזניח את ממדי יצחק והקורה, את מסת הקפיץ ואת החיכוך.

א. משמעות קבוע הכוח k = 100 N/m

קבוע כוח זה פירושו שכדי למתוח (או לכווץ) את הקפיץ באורך של \( 1\ \mathrm{m} \), יש להפעיל עליו כוח של \( 100\ \mathrm{N} \).

ב. אורך הקפיץ במצבו הרפוי

מרגע שהקפיץ מתחיל להימתח ועד לנקודה הנמוכה ביותר (\( h=2\ \mathrm{m} \), שם המהירות מתאפסת), משתמשים בשימור אנרגיה. מנקודת השיא (\( h=77\ \mathrm{m} \), מהירות אפס) ועד לנקודה הנמוכה ביותר (\( h=2\ \mathrm{m} \), מהירות אפס גם כן), כל האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שהשתנתה הפכה לאנרגיה פוטנציאלית אלסטית של הקפיץ (אין אנרגיה קינטית בשתי הנקודות הללו):

$$ mg(77-2) = \tfrac12 k x^2 $$

$$ x = \sqrt{\frac{2mg\cdot75}{k}} = \sqrt{\frac{2\times60\times10\times75}{100}} = 30\ \mathrm{m} $$

זוהי מתיחת הקפיץ בנקודה הנמוכה ביותר. לכן הגובה שבו הקפיץ מתחיל להימתח (כשהוא במתיחה אפס) הוא \( 2+30=32\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע, ואורכו הרפוי:

$$ L_0 = 77 - 32 = 45\ \mathrm{m} $$

ג. הכוח השקול על יצחק בגובה 2m

בנקודה הנמוכה ביותר, מתיחת הקפיץ \( x=30\ \mathrm{m} \):

$$ F_{spring} = kx = 100\times30 = 3000\ \mathrm{N} \ (\text{כלפי מעלה}) $$

$$ F_{gravity} = mg = 60\times10 = 600\ \mathrm{N}\ (\text{כלפי מטה}) $$

$$ F_{net} = 3000-600 = 2400\ \mathrm{N}\ (\text{כלפי מעלה}) $$

ד. הגובה שבו הכוח השקול מתאפס

הכוח השקול מתאפס כאשר כוח הקפיץ שווה בגודלו למשקל:

$$ kx_0 = mg \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{600}{100} = 6\ \mathrm{m} $$

מתיחה זו מתקבלת בגובה:

$$ h = 32 - 6 = 26\ \mathrm{m} $$

ה. הזמן מהנקודה הנמוכה ביותר לנקודה הגבוהה ביותר

מהנקודה הנמוכה ביותר (\( h=2\ \mathrm{m} \)) ועד לגובה \( h=32\ \mathrm{m} \) (שם הקפיץ חוזר לאורכו הרפוי), התנועה היא תנועה הרמונית פשוטה סביב נקודת שיווי המשקל שנמצאה בסעיף ד' (\( h=26\ \mathrm{m} \)), עם משרעת \( A=26-2=24\ \mathrm{m} \):

$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{60}} \approx 1.291\ \mathrm{rad/s} $$

מציבים \( y(t)=-A\cos(\omega t) \) (התחלה בנקודה הנמוכה ביותר), ומוצאים את הזמן \( t_1 \) שבו \( y=+6\ \mathrm{m} \) (הגובה \( h=32\ \mathrm{m} \)):

$$ \cos(\omega t_1) = -\frac{6}{24} = -0.25 \quad\Rightarrow\quad \omega t_1 \approx 1.823 \quad\Rightarrow\quad t_1 \approx 1.41\ \mathrm{s} $$

המהירות בגובה \( h=32\ \mathrm{m} \) (בעזרת שימור אנרגיה, או מנוסחת המהירות בתנועה הרמונית):

$$ v_1 = A\omega\sin(\omega t_1) \approx 30\ \mathrm{m/s}\ (\text{כלפי מעלה}) $$

מגובה \( 32\ \mathrm{m} \) ומעלה הקפיץ רפוי (אינו מותח יותר), ויצחק ממשיך בתנועה חופשית (האטה קבועה \( g \)) עד לנקודה הגבוהה ביותר, שבה (משימור אנרגיה) מהירותו מתאפסת בדיוק בגובה ההתחלתי \( 77\ \mathrm{m} \):

$$ t_2 = \frac{v_1}{g} = \frac{30}{10} = 3\ \mathrm{s} $$

הזמן הכולל מהנקודה הנמוכה ביותר לנקודה הגבוהה ביותר:

$$ t_{total} = t_1+t_2 \approx 1.41+3 = 4.41\ \mathrm{s} $$