בגרות – גרף תאוצה משתנה

נהג מכונית התחיל את נסיעתו ממנוחה ונסע לאורך כביש ישר. גרף המהירות שלו כפונקציה של הזמן: מ-\( t=0 \) עד \( t=6\ \mathrm{s} \) הגרף הוא קו ישר עולה מ-0 ל-\( 12\ \mathrm{m/s} \); מ-\( t=6\ \mathrm{s} \) עד \( t=10\ \mathrm{s} \) הגרף מעוקל ועולה בהדרגה עד \( 14\ \mathrm{m/s} \); ומ-\( t=10\ \mathrm{s} \) עד \( t=13\ \mathrm{s} \) הגרף אופקי בגובה \( 14\ \mathrm{m/s} \).

א. סוג התנועה בכל שלב

\( 0

\( 6\ \mathrm{s}

\( 10\ \mathrm{s}

ב. השוואה לתאוצת ההאצה של היצרן

לפי היצרן, המכונית מאיצה מ-0 עד \( 100\ \mathrm{km/h} \) ב-\( 2.6\ \mathrm{s} \). ממירים ליחידות SI:

$$ 100\ \mathrm{km/h} = \frac{100}{3.6} \approx 27.78\ \mathrm{m/s} $$

התאוצה לפי היצרן:

$$ a_{\text{claimed}} = \frac{27.78}{2.6} \approx 10.68\ \mathrm{m/s^2} $$

התאוצה המקסימלית שבה נסע הנהג בפועל (מסעיף א') היא \( 2\ \mathrm{m/s^2} \). היחס ביניהן:

$$ \frac{10.68}{2} \approx 5.34 $$

התאוצה שעליה מצהיר היצרן גדולה פי כ-5.34 מהתאוצה המקסימלית שבה נסע הנהג בפועל.

ג. המהירות הממוצעת ב-13 השניות הראשונות

המרחק הכולל שווה לשטח שמתחת לגרף המהירות. משלב א' (משולש):

$$ s_1 = \tfrac12\times6\times12 = 36\ \mathrm{m} $$

משלב ב' (בקירוב, כטרפז):

$$ s_2 \approx \frac{12+14}{2}\times4 = 52\ \mathrm{m} $$

משלב ג' (מהירות קבועה):

$$ s_3 = 14\times3 = 42\ \mathrm{m} $$

סך המרחק:

$$ s = 36+52+42 = 130\ \mathrm{m} $$

המהירות הממוצעת:

$$ \bar{v} = \frac{130}{13} = 10\ \mathrm{m/s} $$

ד. משך הזמן מרגע ההבחנה בכדור ועד לעצירה

המכונית נסעה במהירות \( 14\ \mathrm{m/s} \). זמן התגובה (עד לחיצה על הבלם) הוא \( 0.75\ \mathrm{s} \), שבמהלכו הרכב ממשיך במהירות קבועה. לאחר מכן, בלימה בתאוצה שגודלה \( 3.5\ \mathrm{m/s^2} \) עד לעצירה:

$$ t_{\text{brake}} = \frac{14}{3.5} = 4\ \mathrm{s} $$

משך הזמן הכולל:

$$ 0.75+4 = 4.75\ \mathrm{s} $$

ה. המרחק הכולל מרגע ההבחנה ועד לעצירה

מרחק בזמן התגובה (מהירות קבועה):

$$ d_1 = 14\times0.75 = 10.5\ \mathrm{m} $$

מרחק הבלימה:

$$ d_2 = \frac{14+0}{2}\times4 = 28\ \mathrm{m} $$

המרחק הכולל:

$$ d_1+d_2 = 10.5+28 = 38.5\ \mathrm{m} $$

ו. האם הקטנת המהירות ב-10 קמ"ש תמיד מקטינה את מרחק הבלימה פי שניים?

לא. מרחק הבלימה מתקבל מהנוסחה \( v^2=2ad \), כלומר:

$$ d = \frac{v^2}{2a} $$

מרחק הבלימה תלוי בריבוע המהירות, ולא במהירות עצמה - ולכן אותה הפחתה של \( 10\ \mathrm{km/h} \) משפיעה אחרת בהתאם למהירות ההתחלתית. לדוגמה, הפחתה מ-\( 20\ \mathrm{km/h} \) ל-\( 10\ \mathrm{km/h} \) מקטינה את מרחק הבלימה פי 4 (כי \( (10/20)^2=1/4 \)), ואילו הפחתה מ-\( 100\ \mathrm{km/h} \) ל-\( 90\ \mathrm{km/h} \) מקטינה אותו רק בכ-19% (כי \( (90/100)^2\approx0.81 \)). לכן ההפחתה של \( 10\ \mathrm{km/h} \) אינה מקטינה את מרחק הבלימה פי שניים באופן קבוע, ללא תלות במהירות ההתחלתית.