שלושה כדורים נזרקים ממגדל

מכניקה קינמטיקה שלושה כדורים נזרקים ממגדל

בתהליך

פתרון - שלושה כדורים נזרקים ממגדל (בגרות 2018, שאלה 1)

נתון: מגדל בגובה H. כדור A נזרק כלפי מטה במהירות , כדור B נזרק כלפי מעלה במהירות שגודלה , כדור C משוחרר ממנוחה. הכיוון החיובי הוא כלפי מטה. החיכוך עם האוויר זניח (בסעיפים א-ד), כלומר הכוח היחיד הפועל על הכדורים הוא כוח הכובד, ו-.

מה אפשר ללמוד מגרף מהירות-זמן

נקודת החיתוך עם ציר המהירות - המהירות ההתחלתית (המהירות בזמן אפס).
השיפוע - קצב שינוי המהירות, כלומר התאוצה.
נקודת החיתוך עם ציר הזמן - הרגע שבו המהירות מתאפסת.
השטח בין הגרף לציר הזמן - ההעתק. שטח מעל הציר מתאר תנועה בכיוון החיובי, ושטח מתחת לציר מתאר תנועה בכיוון השלילי.

קריאת הגרף

מהירות התחלתית: הגרף חותך את ציר המהירות ב-.

שיפוע: בוחרים שתי נקודות כלשהן על הקו, למשל ו-. בשנייה אחת המהירות עלתה ב-10:

זה הגיוני: לגוף בנפילה חופשית יש תאוצה .

חיתוך עם ציר הזמן: המהירות מתאפסת ב-. זו הנקודה הגבוהה ביותר: המהירות עוברת מכלפי מעלה (שלילית) לכלפי מטה (חיובית), ולכן לרגע אחד היא חייבת להיות אפס.

מהירות מקסימלית: , ברגע הפגיעה בקרקע ().

סעיף א׳ - איזה כדור מתאר הגרף

המהירות ההתחלתית בגרף שלילית: . הכיוון החיובי הוא כלפי מטה, ולכן מהירות שלילית פירושה תנועה כלפי מעלה. הכדור היחיד שנזרק כלפי מעלה הוא כדור B.

מכאן גם .

סעיף ב׳ - גובה המגדל H

נפרק את התנועה של כדור B לשלבים:

מ-0 עד 0.5 שניות - הכדור עולה. השטח הוא משולש מתחת לציר:

כלומר הכדור עלה מעל ראש המגדל.
מ-0.5 עד 1 שנייה - הכדור יורד. זה משולש זהה מעל הציר: הכדור ירד וחזר לגובה ראש המגדל. (אם לקח לו חצי שנייה לעלות, ייקח לו עוד חצי שנייה לרדת.)
מ-1 עד 5 שניות - הנפילה מראש המגדל לקרקע. זה מה שמתאר את גובה המגדל.

השטח מ-1 עד 5 שניות הוא טרפז. שטח טרפז הוא הגובה כפול ממוצע הבסיסים:

גובה המגדל: .

טעות נפוצה: לחשב את המשולש מ-0.5 עד 5 שניות:

זה המרחק מהשיא של הכדור עד הקרקע, ולא גובה המגדל. ההפרש, , הוא בדיוק הגובה שהכדור עלה מעל המגדל.

אפשר גם לחשב את כל השטח מ-0 עד 5 שניות, בתנאי שהמשולש שמתחת לציר נספר כשלילי. אז שני המשולשים הקטנים מבטלים זה את זה, ומתקבלת אותה תשובה.

סעיף ג׳ - המרחק בין A ל-B בזמן

משוואות כדור A בצבע כחול, ומשוואות כדור B בצבע כתום.

כדור A נזרק כלפי מטה באותו גודל מהירות, ולכן הגרף שלו מתחיל ב-. יש לו אותו שיפוע (אותה תאוצה), כלומר הוא קו מקביל לגרף של B.

דרך ארוכה - מיקום כל כדור בנפרד

כדור B: השטח מ-0 עד 1 שנייה מתבטל (עלייה וירידה), ונשאר הטרפז מ-1 עד 2 שניות, בין המהירויות 5 ו-15:

$$\color[RGB]{232,130,58}{x_B=(2-1)\cdot\frac{5+15}{2}=10\text{m}}$$

כדור A: טרפז מ-0 עד 2 שניות, בין המהירויות 5 ו-25:

$$\color[RGB]{31,111,178}{x_A=2\cdot\frac{5+25}{2}=30\text{m}}$$

(אותו חישוב בדיוק נותנת נוסחת הקינמטיקה : הנוסחה הזו היא שטח הטרפז.)

$$\Delta x=\color[RGB]{31,111,178}{x_A}-\color[RGB]{232,130,58}{x_B}=30-10=20\text{m}$$

דרך קצרה - רק ההפרש

לשני הכדורים יש אותה תאוצה. התאוצה משנה את המיקום של כל כדור, אבל היא משנה את שניהם באותה מידה, ולכן היא לא משפיעה על ההפרש ביניהם. אפשר להתעלם ממנה.

בלי תאוצה, השאלה הופכת לפשוטה: כדור אחד נע במהירות 5 לכיוון אחד, והשני במהירות 5 לכיוון השני. כמו שתי רכבות שנוסעות בכיוונים הפוכים, המרחק ביניהם גדל ב-10 מטר בכל שנייה:

אותו דבר עם נוסחת המיקום:

$$\color[RGB]{31,111,178}{x_A=x_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2}$$ $$\color[RGB]{232,130,58}{x_B=x_0-v_0t+\frac{1}{2}gt^2}$$

בחיסור, ו- מצטמצמים, ונשאר:

$$\Delta x=\color[RGB]{31,111,178}{x_A}-\color[RGB]{232,130,58}{x_B}=2v_0t$$

בגרף רואים את זה כך: ההפרש הוא השטח בין שני הקווים המקבילים. כל שנייה נוספת מוסיפה מקבילית שגובהה 10 ורוחבה 1, כלומר 10 מטר.

המרחק בין הכדורים: .

סעיף ד׳ - המשמעות של הערכים בגרף

(1) שיפוע הגרף - התאוצה. כל שלושת הכדורים בנפילה חופשית, ולכל גוף בנפילה חופשית יש תאוצה , בין אם נזרק למעלה, למטה או שוחרר ממנוחה. המהירות משתנה, אבל קצב השינוי שלה זהה. זהה לשלושת הגרפים.

(2) נקודת החיתוך עם ציר המהירות - המהירות ההתחלתית: ל-A, ל-B ו-0 ל-C. שונה.

(3) השטח בין הגרף לציר הזמן - ההעתק. כאן הניסוח של השאלה לא חד־משמעי, והנימוק חשוב יותר מהתשובה:

אם מחשבים את השטח עם סימן (שטח מתחת לציר שלילי) - כל הכדורים עברו מראש המגדל לקרקע, כלומר העתק של . השטח זהה לכולם.
אם מחשבים את השטח הגאומטרי (שטח תמיד חיובי) - לכדור B יש שני משולשים נוספים (עלייה וירידה), ולכן השטח שלו גדול יותר. השטחים לא זהים.

שטח במובן הגאומטרי הוא תמיד חיובי, ולכן התשובה הבטוחה היא שהשטחים לא זהים: לכדור B יש שטח נוסף שמתאר את העלייה והירידה. ההעתק עצמו (השטח עם סימן) זהה לכולם.

סעיף ה׳ - חיכוך קבוע: מהירות הפגיעה של A ושל B

קודם, בלי חיכוך: כדור B נזרק למעלה במהירות 5, עולה, יורד, וחוזר לגובה ראש המגדל במהירות 5 כלפי מטה. מהרגע הזה הוא בדיוק במצב של כדור A ברגע הזריקה: אותו גובה, אותה מהירות כלפי מטה. לכן בלי חיכוך שניהם פוגעים בקרקע באותה מהירות (אבל בזמנים שונים).

עם חיכוך: החיכוך פועל נגד כיוון התנועה ומאט את כדור B גם בעלייה וגם בירידה. לכן כשכדור B חוזר לגובה ראש המגדל, המהירות שלו כבר קטנה מ-5.

מכאן והלאה שני הכדורים נופלים מאותו גובה, עם אותם כוחות (אותו משקל ואותו חיכוך). אבל כדור A מתחיל את הנפילה במהירות 5, וכדור B מתחיל אותה במהירות קטנה מ-5. מי שמתחיל במהירות קטנה יותר מסיים במהירות קטנה יותר.

גודל המהירות של כדור A ברגע הפגיעה בקרקע גדול מגודל המהירות של כדור B.

(אותה מסקנה מתקבלת משיקולי אנרגיה: לשני הכדורים אותה אנרגיה התחלתית, אבל כדור B עובר דרך ארוכה יותר, ולכן החיכוך מוציא ממנו יותר אנרגיה.)

בגרות 2018 · שאלה 1

שלושה כדורים נזרקים ממגדל

שלושה כדורים יוצאים מראש מגדל: אחד נזרק למטה, אחד למעלה ואחד משוחרר. נקרא את גרף המהירות של אחד מהם, נמצא את גובה המגדל ואת המרחק בין הכדורים, ונראה מה משנה חיכוך.

גרף מהירות-זמןשטח והעתקשני גופיםחיכוך

הנתונים

שלושה כדורים

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מראש מגדל בגובה H: כדור A נזרק כלפי מטה, כדור B נזרק כלפי מעלה באותו גודל מהירות, וכדור C משוחרר ממנוחה. הכיוון החיובי כלפי מטה. הגרף מתאר את המהירות של אחד הכדורים, עד הפגיעה בקרקע.

הכוח היחיד על הכדורים הוא כוח הכובד. מזניחים את התנגדות האוויר, בסעיפים א עד ד.$g=10\ \text{m/s}^2$

קריאת הגרף

מה רואים בגרף?

מההתחלההצג פתרון

1. החיתוך עם ציר המהירות הוא המהירות ההתחלתית:$v(0)=-5\ \text{m/s}$

2. השיפוע הוא התאוצה. בוחרים שתי נקודות על הקו:$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$a=\frac{15-5}{2-1}=10\ \text{m/s}^2$

3. החיתוך עם ציר הזמן: המהירות מתאפסת. זו הנקודה הגבוהה ביותר:$t=0.5\ \text{s}$

4. המהירות הגדולה ביותר, ברגע הפגיעה בקרקע:$v=45\ \text{m/s},\quad t=5\ \text{s}$

שימו לב: השטח בין הגרף לציר הזמן הוא ההעתק. נשתמש בזה בסעיף ב.

סעיף א

איזה כדור?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: איזה מהכדורים מתאר הגרף?

1. המהירות ההתחלתית בגרף שלילית. הכיוון החיובי כלפי מטה, ולכן מהירות שלילית פירושה תנועה כלפי מעלה.

הגרף מתאר את כדור B, היחיד שנזרק כלפי מעלה. מכאן גם גודל המהירות ההתחלתית:$v_0=5\ \text{m/s}$

סעיף ב

גובה המגדל

מההתחלההצג פתרון

שאלה: חשבו את גובה המגדל.

1. השטח בין גרף מהירות-זמן לציר הזמן הוא ההעתק.

2. מ-0 עד שנייה אחת: משולש מתחת לציר ומשולש זהה מעליו. הכדור עלה 1.25 מטר וחזר לראש המגדל:$\Delta x=-\tfrac12\cdot0.5\cdot5+\tfrac12\cdot0.5\cdot5=0$

3. משנייה 1 עד 5: הנפילה מראש המגדל לקרקע. שטח טרפז:$H=\Delta t\cdot\frac{v_1+v_2}{2}$$H=(5-1)\cdot\frac{5+45}{2}$

גובה המגדל:$H=100\ \text{m}$

שימו לב: טעות נפוצה: לחשב את המשולש מ-0.5 עד 5 שניות. מקבלים 101.25 מטר, שזה המרחק מהשיא של הכדור עד הקרקע.

סעיף ג

המרחק בין A ל-B: מהגרף

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מה המרחק בין כדור A לכדור B ברגע 2 שניות?

1. הגרף של A מתחיל ב-5 ויש לו אותו שיפוע: קו מקביל לגרף של B.

2. כדור B: השטח מ-0 עד 1 מתבטל, ונשאר טרפז מ-1 עד 2 שניות:$x_B=\Delta t\cdot\frac{v_1+v_2}{2}$$x_B=1\cdot\frac{5+15}{2}=10\ \text{m}$

3. כדור A: טרפז מ-0 עד 2 שניות:$x_A=\Delta t\cdot\frac{v_1+v_2}{2}$$x_A=2\cdot\frac{5+25}{2}=30\ \text{m}$

המרחק בין הכדורים:$\Delta x=x_A-x_B$$\Delta x=30-10=20\ \text{m}$

סעיף ג

המרחק בין A ל-B: דרך קצרה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מה המרחק בין כדור A לכדור B ברגע 2 שניות?

1. משוואת המקום של כל כדור. A יוצא למטה ו-B למעלה:$x_A=x_0+v_0\,t+\tfrac12g\,t^2$$x_B=x_0-v_0\,t+\tfrac12g\,t^2$

2. מחסרים. המיקום ההתחלתי זהה, ולשני הכדורים אותה תאוצה. שניהם מצטמצמים:$\Delta x=x_A-x_B=2v_0\,t$$\Delta x=2\cdot5\cdot2=20\ \text{m}$

אותה תשובה, בלי לחשב כל כדור בנפרד.$\Delta x=20\ \text{m}$

שימו לב: כמו שתי רכבות שנוסעות לכיוונים הפוכים, כל אחת ב-5 מטר לשנייה: המרחק ביניהן גדל ב-10 מטר בכל שנייה.

סעיף ד

מה זהה בשלושת הגרפים?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: שרטטו את גרפי המהירות של שלושת הכדורים. האם (1) השיפוע, (2) החיתוך עם ציר המהירות, (3) השטח בין הגרף לציר הזמן, זהים?

1. השיפוע הוא התאוצה. כל הכדורים בנפילה חופשית:$a_A=a_B=a_C=g=10\ \text{m/s}^2$

(1) השיפוע זהה.

2. החיתוך עם ציר המהירות הוא המהירות ההתחלתית:$v_A(0)=5,\quad v_B(0)=-5,\quad v_C(0)=0$

(2) החיתוך שונה.

3. השטח הוא ההעתק. עם סימן, כולם עברו 100 מטר. אבל שטח גאומטרי תמיד חיובי, ולכדור B יש שני משולשים נוספים: העלייה והירידה.

(3) השטחים לא זהים. ההעתק עצמו זהה.

סעיף ה

עם חיכוך

מההתחלההצג פתרון

שאלה: עכשיו פועל על הכדורים חיכוך עם האוויר. האם גודל מהירות הפגיעה של A גדול, קטן או שווה לזה של B?

1. בלי חיכוך, B עולה, יורד וחוזר לראש המגדל במהירות 5 כלפי מטה. בדיוק כמו A ברגע הזריקה.

2. עם חיכוך, החיכוך מאט את B גם בעלייה וגם בירידה. הוא חוזר לראש המגדל במהירות קטנה מ-5.

3. משם שניהם נופלים מאותו גובה, עם אותם כוחות. A מתחיל ב-5, ו-B במהירות קטנה יותר.

גודל מהירות הפגיעה של A גדול משל B.

שימו לב: אותה מסקנה מאנרגיה: לשניהם אותה אנרגיה בהתחלה, אבל B עובר דרך ארוכה יותר, והחיכוך לוקח ממנו יותר אנרגיה.

סיכום

מה למדנו מהשאלה

שיפועתאוצה

חיתוך עם ציר המהירותמהירות התחלתית

שטחהעתק

גובה המגדל$100\ \text{m}$

מרחק בין A ל-B$2v_0t=20\ \text{m}$

עם חיכוךA מהיר יותר

טעויות נפוצות

לשכוח את כיוון הציר. כאן החיובי כלפי מטה, ולכן מהירות שלילית היא כלפי מעלה.

לחשב את גובה המגדל מהשיא. צריך את השטח מהרגע שהכדור חוזר לראש המגדל.

לחשב כל כדור בנפרד כשמספיק ההפרש. תאוצה משותפת מצטמצמת.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←