מטוטלת חרוטית עם מנוע וקו מגמה

פתרון - מטוטלת חרוטית עם מנוע וקו מגמה (בגרות 2022 מיוחד, שאלה 3)

נתון: מנוע עם ציר אנכי, חוט באורך $L$ עם כדור מסה $m$ בקצהו. כאשר המנוע פועל, הכדור מבצע תנועה מעגלית אופקית בתדירויות שונות $f$, כאשר החוט יוצר זווית $\alpha$ עם האנך.

סעיף א׳ - דיאגרמת כוחות וביטוי ל-$\cos\alpha$ כפונקציה של /f^2$

על הכדור פועלים: כוח כובד $mg$ כלפי מטה, ומתיחות החוט $T$ לאורך החוט.

שיווי משקל אנכי: $T\cos\alpha = mg$

משוואת התנועה הרדיאלית (צנטריפטלית), עם רדיוס $r=L\sin\alpha$ ומהירות זוויתית $\omega=2\pi f$:

$$T\sin\alpha = m(2\pi f)^2 L\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad T = m(2\pi f)^2 L$$

הצבה במשוואה האנכית:

$$m(2\pi f)^2 L\cos\alpha = mg$$ $$\cos\alpha = \frac{g}{4\pi^2 L}\cdot\frac{1}{f^2}$$

כלומר $\cos\alpha$ פרופורציוני ל-/f^2$, עם שיפוע תיאורטי $\dfrac{g}{4\pi^2L}$.

סעיף ב׳ - טבלה מושלמת וגרף

מציבים את חמש הנקודות $(1/f^2,\ \cos\alpha)$ על גרף ומעבירים קו מגמה (רגרסיה לינארית, לא בהכרח דרך הראשית).

סעיף ג׳ - חישוב L משיפוע הגרף

שיפוע קו המגמה (מהרגרסיה על 5 הנקודות): $\text{שיפוע}\approx0.175\ \text{(°/s}^2\text{)}$ [ביחידות של $\cos\alpha$ ל-/f^2$].

לפי הביטוי התיאורטי, שיפוע $=\dfrac{g}{4\pi^2L}$:

$$L = \frac{g}{4\pi^2\cdot\text{שיפוע}} = \frac{10}{4\pi^2\cdot0.175} \approx \frac{10}{6.91} \approx 1.45\text{m}$$

סעיף ד׳ - תדירות סיבוב מינימלית מהגרף

התנועה המעגלית (עם $\alpha>0$) אפשרית רק כאשר $\cos\alpha\le1$. תדירות מינימלית מתקבלת כאשר $\cos\alpha=1$ (כלומר $\alpha\to0$, גבול תחילת ההינתקות מהתנועה האנכית הפשוטה). מהגרף (קו המגמה), מוצאים את הערך של /f^2$ המתאים ל-$\cos\alpha=1$, ומחשבים את $f$ המתאימה:

$ \approx 0.175\cdot\frac{1}{f_{min}^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{f_{min}^2}\approx5.7 \quad\Rightarrow\quad f_{min}\approx\sqrt{\frac{1}{5.7}}\approx0.42\text{Hz}

כלומר עבור $f<0.42\text{Hz}$ לערך, לא מתקיימת תנועה מעגלית עם זווית חיובית - החוט פשוט תלוי אנכית.