ניסוי הדיפת דסקה

הדיפת דסקה הוא אחד משבעת ניסויי המעבדה של הבגרות. מטרת הניסוי: למצוא את קבוע הקפיץ של קפיץ (או של סרגל גמיש) בעזרת שיקולי אנרגיה.

חוק הוק: כל דבר אלסטי מתנהג כמו קפיץ

לומדים על קפיץ לא כי הקפיץ עצמו כל כך חשוב, אלא כי הוא מתאר טוב הרבה מאוד גופים אלסטיים: סרגל שמתכופף, גומייה, קרש קפיצה. בניסוי הזה, למשל, הסרגל הוא ה"קפיץ".

הכוח של קפיץ:

$$ F = k\,\Delta x $$

\( \Delta x \) הוא ההתארכות (או ההתכווצות) של הקפיץ ביחס למצב הרפוי שלו, ו-\( k \) הוא קבוע הקפיץ, ביחידות \( \mathrm{N/m} \). אם \( k = 5\ \mathrm{N/m} \), כל 5 ניוטון מאריכים את הקפיץ במטר. (לא להתבלבל עם k של חשמל.)

הקשר לינארי: כוח גדול פי 5 מאריך את הקפיץ פי 5. כמובן, רק עד גבול מסוים: אם מותחים יותר מדי, הקפיץ מפסיק להתנהג כמו קפיץ.

דוגמאות לשימוש בלינאריות

• מד משקל קפיצי: השנתות במרווחים שווים, כי ההתארכות פרופורציונית למשקל.
• מתקן צלחות בחדר אוכל: ערימת צלחות יושבת על קפיץ, ותמיד רואים רק צלחת אחת מעל השולחן. כשלוקחים צלחת, המשקל קטן במשקל של צלחת אחת, והקפיץ מתרומם בדיוק בגובה של צלחת אחת. כדי לתכנן מתקן כזה בוחרים קפיץ עם \( k = mg/h \): משקל צלחת חלקי גובה צלחת.

האנרגיה של קפיץ

בניסוי הזה לא מודדים כוח, אלא משתמשים באנרגיה. האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית של קפיץ:

$$ E = \tfrac{1}{2} k\,\Delta x^2 $$

את הריבוע מקבלים מאינטגרל: האנרגיה היא העבודה של הכוח לאורך הדרך, והאינטגרל של \( kx \) הוא \( \tfrac12 kx^2 \).

תזכורת: שאלת כוחות עוסקת במה שקורה בנקודה מסוימת. שאלת אנרגיה משווה בין שתי נקודות: מה היה בהתחלה, מה יש בסוף, ומה השתנה בדרך. כאן יש מצב התחלתי (קפיץ מתוח) ומצב סופי (דסקה עצרה), ולכן מתאימים שיקולי אנרגיה.

מהלך הניסוי

1. מניחים את הדסקה על משטח אופקי (קרטון), צמוד לסרגל.
2. מותחים את הסרגל מרחק \( \Delta x \) (למשל 1 ס"מ, בעזרת חורים בקרטון) ומשחררים. הסרגל "הודף" את הדסקה, והיא מחליקה עד שהחיכוך עוצר אותה.
3. מודדים את המרחק \( L \) שהדסקה עברה.
4. חוזרים על אותה מדידה שלוש פעמים ומחשבים ממוצע. כל פעם יוצאת תוצאה קצת שונה, והממוצע מקטין את השגיאה.
5. חוזרים על הניסוי עם מתיחות שונות: 1, 2, 3, 4, 5 ס"מ.

שימו לב להבדל בין שני סוגי החזרות:

• אותו ניסוי שלוש פעמים (אותה מתיחה): עושים ממוצע פשוט, וזה נותן נקודה אחת בגרף.
• ניסויים שונים (מתיחות שונות): כל אחד נותן נקודה אחרת בגרף. את ה"ממוצע" שלהם עושים בעזרת ישור לינארי, כלומר קו מגמה.

הניתוח: שימור אנרגיה

$$ E_i + W = E_f $$

כוחות משמרים (כובד, קפיץ) מתוארים בעזרת אנרגיה, ואת הכוחות שלא אפשר לתאר כך (כאן: החיכוך) מכניסים כעבודה. הניסוי נעשה על שולחן אופקי, ולכן אין שינוי באנרגיית גובה.

• בהתחלה: אנרגיית הקפיץ \( \tfrac12 k\Delta x^2 \). מניחים שכולה עוברת לדסקה (מזניחים את האנרגיה שהולכת לאיבוד במכה ואת התנועה של הסרגל).
• בסוף: הדסקה עוצרת, \( E_f = 0 \).
• עבודת החיכוך: כוח החיכוך קבוע, \( f = \mu N = \mu mg \), והוא פועל נגד התנועה (זווית \( 180^\circ \)), ולכן \( W = -\mu mg L \).

$$ \tfrac12 k\,\Delta x^2 - \mu m g L = 0 $$

יש כאן שני מרחקים שונים: \( \Delta x \) הוא כמה מתחנו את הקפיץ, ו-\( L \) הוא כמה הדסקה החליקה.

מבודדים את \( L \) (התוצאה שנמדדת, על הציר האנכי) כפונקציה של \( \Delta x \) (מה שמשנים, על הציר האופקי):

$$ L = \frac{k}{2\mu m g}\,\Delta x^2 $$

ישור לינארי

הקשר בין \( L \) ל-\( \Delta x \) הוא פרבולה: מתיחה כפולה נותנת מרחק פי 4. אבל בעין קשה לדעת אם עקומה היא באמת פרבולה ולא, למשל, \( x^3 \). לכן משנים את הציר האופקי ל-\( \Delta x^2 \). עכשיו הנקודות צריכות לשבת על קו ישר:

$$ L = \text{slope} \cdot \Delta x^2, \qquad \text{slope} = \frac{k}{2\mu m g} $$

מעבירים קו מגמה: קו ישר שחצי מהנקודות מעליו וחצי מתחתיו (עם סרגל על דף, או באקסל). חשוב לדעת לעבוד בשתי הדרכים. אקסל גם נותן מספר בין 0 ל-1 שמראה עד כמה הנקודות קרובות לקו, כלומר עד כמה הניסוי מתאים לתיאוריה. על דף מעריכים את זה בעין.

את השיפוע מחשבים משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו. השיפוע של קו המגמה הוא בעצם ממוצע של כל השיפועים בין זוגות הנקודות.

בעיה: שני נעלמים

את \( m \) קל למצוא: שוקלים את הדסקה במאזניים (או שהמסה נתונה). אבל בשיפוע יש עדיין שני נעלמים: \( k \) ו-\( \mu \).

עוד מדידות מאותו ניסוי לא יעזרו: כל נקודה נוספת נותנת את אותו שיפוע. צריך ניסוי אחר, שמכיל רק את \( \mu \).

ניסוי שני: מציאת מקדם החיכוך

מניחים את הדסקה על הקרטון, ומרימים לאט לאט את הקצה של הקרטון עד שהדסקה מתחילה להחליק. ברגע הזה (סף תנועה) החיכוך הסטטי מקסימלי והכוח השקול אפס:

במקביל למדרון:

$$ mg\sin\alpha = f = \mu N $$

בניצב למדרון:

$$ N = mg\cos\alpha $$

מחלקים את המשוואות זו בזו, והנורמל מצטמצם:

$$ \mu = \tan\alpha $$

(כאן מוצאים את מקדם החיכוך הסטטי, ומניחים שהוא קרוב לקינטי.)

מדידת הזווית: מד זווית לא מדויק. במקום זה מודדים בסרגל את אורך הקרטון (היתר) ואת הגובה \( h \) שאליו הורם הקצה, ומחשבים:

$$ \sin\alpha = \frac{h}{\text{length}} $$

בדיקת התוצאה

• יחידות: \( \mu \) חסר יחידות, וגם \( \tan\alpha \).
• מקרי קצה: בזווית 0 כל גוף נשאר במקום, ובאמת \( \tan 0 = 0 \). בזווית שקרובה ל-90° צריך מקדם חיכוך עצום כדי שהגוף לא יחליק, ובאמת \( \tan\alpha \) שואף לאינסוף.

\( \mu \) לא חייב להיות קטן מ-1. זה גודל הנדסי שתלוי בזוג החומרים. צמיג על אספלט, למשל, מגיע למקדם חיכוך מעט מעל 1.

דוגמה מספרית

מסת הדסקה \( m = 50\ \mathrm{g} \). מהגרף (ראו למטה) לוקחים שתי נקודות על קו המגמה: \( (5,\ 33.2) \) ו-\( (25,\ 168.0) \), כאשר \( \Delta x^2 \) בסמ"ר ו-\( L \) בס"מ.

$$ \text{slope} = \frac{168.0 - 33.2}{25 - 5} = 6.74\ \mathrm{cm^{-1}} = 674\ \mathrm{m^{-1}} $$

בניסוי השני הדסקה התחילה להחליק כשקצה קרטון באורך 50 ס"מ הורם לגובה 14.4 ס"מ:

$$ \sin\alpha = \frac{14.4}{50} = 0.288 \quad\Longrightarrow\quad \alpha \approx 16.7^\circ, \qquad \mu = \tan\alpha \approx 0.30 $$

ומכאן קבוע הקפיץ:

$$ k = 2\mu m g \cdot \text{slope} = 2 \cdot 0.30 \cdot 0.05 \cdot 10 \cdot 674 \approx 200\ \mathrm{N/m} $$