פובוס דאימוס ופגיעת מטאורואיד בחללית

פתרון - פובוס, דאימוס ופגיעת מטאורואיד בחללית (בגרות 2022 מיוחד, שאלה 6)

נתון: מחזור פובוס $T_P=0.3189$ ימי כדוה"א, רדיוס מסלול פובוס $r_P=9.377\times10^6\text{m}$. מחזור דאימוס $T_D=1.262$ ימים. רדיוס מאדים $R=3.4\times10^6\text{m}$. מסת חללית $m_1=53\text{kg}$, מסת מטאורואיד $m_2=1.3\text{kg}$, מהירות המטאורואיד .5\text{m/s}$ במקביל לפני מאדים. גובה ריחוף: \text{m}$.

סעיף א׳(1) - רדיוס מסלול דאימוס

שני הירחים סובבים סביב אותו גוף מרכזי (מאדים), ולכן חוק קפלר השלישי מתקיים ביחס ישיר בין שניהם:

$$\left(\frac{T_D}{T_P}\right)^2 = \left(\frac{r_D}{r_P}\right)^3$$ $$r_D = r_P\left(\frac{T_D}{T_P}\right)^{2/3} = 9.377\times10^6\cdot\left(\frac{1.262}{0.3189}\right)^{2/3}$$ $$= 9.377\times10^6\cdot(3.957)^{2/3}\approx9.377\times10^6\cdot2.50\approx2.35\times10^7\text{m}

סעיף א׳(2) - האם ניתן לחשב את רדיוס מסלול הירח (של כדוה"א) מהנתונים

לא ניתן. חוק קפלר השלישי ביחס הישיר (כפי שהשתמשנו בו בסעיף הקודם) תקף רק לגופים המקיפים את אותו גוף מרכזי - כאן מאדים. הירח מקיף את כדור הארץ, שמסתו שונה ממסת מאדים, ולכן קבוע היחס $T^2/r^3$ שונה עבור מערכת כדור הארץ-ירח. אי אפשר להעביר את היחס שחושב עבור פובוס-דאימוס (מאדים) למערכת אחרת ללא נתון נוסף (כגון מסת כדור הארץ).

סעיף ב׳ - מסת מאדים

לפי פובוס: $T_P=0.3189\cdot86400=27553\text{s}$

$$GM_{Mars} = \frac{4\pi^2 r_P^3}{T_P^2} = \frac{4\pi^2\cdot(9.377\times10^6)^3}{(27553)^2}$$ $$r_P^3\approx8.245\times10^{20}\text{m}^3,\quad T_P^2\approx7.592\times10^8\text{s}^2$$ $$GM_{Mars}\approx\frac{39.48\cdot8.245\times10^{20}}{7.592\times10^8}\approx4.29\times10^{13}\text{m}^3/\text{s}^2$$ $$M_{Mars}=\frac{GM_{Mars}}{G}=\frac{4.29\times10^{13}}{6.67\times10^{-11}}\approx6.43\times10^{23}\text{kg}

סעיף ג׳ - מהירות הגוף המאוחד מיד לאחר הפגיעה

שימור תנע (התנגשות פלסטית, המטאורואיד נתקע בחללית הנייחת):

$$m_2 v_2 = (m_1+m_2)v'$$ $.3\cdot12.5 = 54.3\cdot v'$$ $$v' = \frac{16.25}{54.3}\approx0.30\text{m/s}\ (\text{באותו כיוון כמו המטאורואיד})

סעיף ד׳(1) - תאוצת הכבידה ליד פני מאדים

$$g_{Mars} = \frac{GM_{Mars}}{R^2} = \frac{4.29\times10^{13}}{(3.4\times10^6)^2} = \frac{4.29\times10^{13}}{1.156\times10^{13}}\approx3.71\text{m/s}^2

סעיף ד׳(2) - זמן מרגע הפגיעה ועד הנחיתה

לאחר הפגיעה, החללית המאוחדת נעה במהירות אופקית $v'\approx0.30\text{m/s}$ בלבד (המנועים שריחפו איתה מפסיקים לפעול), ונופלת נפילה חופשית אנכית מגובה \text{m}$:

$$h=\frac{1}{2}g_{Mars}t^2 \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{g_{Mars}}}=\sqrt{\frac{2\cdot20}{3.71}}\approx\sqrt{10.78}\approx3.28\text{s}