גוף על מישור משופע עם כוח קבוע

פתרון - גוף על מישור משופע עם כוח קבוע (בגרות 2018, שאלה 2)

קישור לשאלה: מבחן 2018, שאלה 2

נתון: גוף \(m_1\) מונח על מדרון חלק בזווית \(\alpha\), ומחובר בחוט שעובר על גלגלת לגוף \(m_2\) התלוי. על \(m_1\) פועל כוח קבוע \(F\) מקביל למדרון, במורד המדרון. המערכת משתחררת ממנוחה, ו-\(m_1\) נע במורד המדרון. אין חיכוך, ומסות החוט והגלגלת זניחות.

סעיף א׳ - תרשים כוחות

על \(m_1\): המשקל \(m_1g\) כלפי מטה, הכוח הנורמלי \(N\) ניצב למדרון, מתיחות החוט \(T\) במעלה המדרון, והכוח \(F\) במורד המדרון.

על \(m_2\): מתיחות החוט \(T\) כלפי מעלה, והמשקל \(m_2g\) כלפי מטה.

סעיף ב׳ - ביטוי לינארי לתאוצה

הכיוון החיובי: \(m_1\) במורד המדרון, \(m_2\) כלפי מעלה.

החוק השני עבור \(m_1\):

$$ F + m_1g\sin\alpha - T = m_1a $$

החוק השני עבור \(m_2\):

$$ T - m_2g = m_2a $$

מחברים את המשוואות, ו-\(T\) מתבטל:

$$ F + m_1g\sin\alpha - m_2g = (m_1+m_2)a $$

$$ a = \frac{1}{m_1+m_2}F + \frac{g(m_1\sin\alpha - m_2)}{m_1+m_2} $$

זה קו ישר מהצורה \(y = mx + b\), כאשר \(a\) במקום \(y\) ו-\(F\) במקום \(x\). השיפוע הוא \(\frac{1}{m_1+m_2}\), והחיתוך עם ציר \(a\) הוא \(b = \frac{g(m_1\sin\alpha - m_2)}{m_1+m_2}\).

סעיף ג׳ - הגרף

מסמנים את חמש הנקודות ומעבירים קו ישר אחד, קרוב ככל האפשר לכל הנקודות (לא מחברים נקודה לנקודה). הנקודות לא בדיוק על הקו בגלל שגיאות מדידה.

סעיף ד׳ - המסה

לוקחים שתי נקודות רחוקות על הקו (לא נקודות מדידה). בוחרים \(F\) שנמצא על קו של הרשת, ולכן הוא מדויק. את \(a\) קוראים מהגרף רק בערך, כי הוא לא נופל על קו של הרשת: \((20,\ 2.8)\) ו-\((60,\ 12)\).

$$ m = \frac{\Delta a}{\Delta F} = \frac{12-2.8}{60-20} = \frac{9.2}{40} = 0.23\ \frac{1}{\text{kg}} $$

שימו לב: קוראים לשיפוע \(m\) כי כך קוראים לו בלימודי המתמטיקה, אבל אפשר כמובן לקרוא לו בכל אות אחרת. בשאלה הזו \(m\) היא גם המסה. אלה שני דברים שונים שלשניהם קוראים \(m\), אז חשוב לא להתבלבל ביניהם.

לפי סעיף ב׳ השיפוע הוא \(\frac{1}{m_1+m_2}\). כאשר \(m_1 = m_2 = m\) (כאן \(m\) היא המסה):

$$ 0.23 = \frac{1}{2m} $$

$$ m = \frac{1}{2\cdot0.23} \approx 2.2\ \text{kg} $$

סעיף ה׳ - תנועה קצובה

תנועה קצובה היא מהירות קבועה, כלומר \(a = 0\). על הגרף זו נקודת החיתוך של הקו עם ציר \(F\).

את החיתוך \(b\) עם ציר \(a\) מוצאים מהנקודה \((60,\ 12)\) שעל הקו (כאן \(m\) הוא השיפוע):

$$ a = mF + b \quad\Rightarrow\quad b = 12 - 0.23\cdot60 = -1.8\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2} $$

מציבים \(a = 0\):

$$ 0 = 0.23F - 1.8 \quad\Rightarrow\quad F = \frac{1.8}{0.23} \approx 8\ \text{N} $$

ההסבר: בכוח הזה הכוח השקול על המערכת אפס, כי המשקל של \(m_2\) מאזן בדיוק את \(F\) ואת רכיב המשקל של \(m_1\) במורד המדרון:

$$ F = mg(1-\sin\alpha) $$

בדיקה: \(b = \frac{g(\sin\alpha-1)}{2}\), ולכן \(\sin\alpha = 1+\frac{2\cdot(-1.8)}{10} = 0.64\), כלומר \(\alpha \approx 40^\circ\).