שלושה כדורים נזרקים ממגדל

פתרון - שלושה כדורים נזרקים ממגדל (בגרות 2018, שאלה 1)

נתון: מגדל בגובה H. כדור A נזרק כלפי מטה במהירות , כדור B נזרק כלפי מעלה במהירות שגודלה , כדור C משוחרר ממנוחה. הכיוון החיובי הוא כלפי מטה. החיכוך עם האוויר זניח (בסעיפים א-ד), כלומר הכוח היחיד הפועל על הכדורים הוא כוח הכובד, ו-.

מה אפשר ללמוד מגרף מהירות-זמן

• נקודת החיתוך עם ציר המהירות - המהירות ההתחלתית (המהירות בזמן אפס).
• השיפוע - קצב שינוי המהירות, כלומר התאוצה.
• נקודת החיתוך עם ציר הזמן - הרגע שבו המהירות מתאפסת.
• השטח בין הגרף לציר הזמן - ההעתק. שטח מעל הציר מתאר תנועה בכיוון החיובי, ושטח מתחת לציר מתאר תנועה בכיוון השלילי.

קריאת הגרף

מהירות התחלתית: הגרף חותך את ציר המהירות ב-.

שיפוע: בוחרים שתי נקודות כלשהן על הקו, למשל  ו-. בשנייה אחת המהירות עלתה ב-10:

זה הגיוני: לגוף בנפילה חופשית יש תאוצה .

חיתוך עם ציר הזמן: המהירות מתאפסת ב-. זו הנקודה הגבוהה ביותר: המהירות עוברת מכלפי מעלה (שלילית) לכלפי מטה (חיובית), ולכן לרגע אחד היא חייבת להיות אפס.

מהירות מקסימלית: , ברגע הפגיעה בקרקע ().

סעיף א׳ - איזה כדור מתאר הגרף

המהירות ההתחלתית בגרף שלילית: . הכיוון החיובי הוא כלפי מטה, ולכן מהירות שלילית פירושה תנועה כלפי מעלה. הכדור היחיד שנזרק כלפי מעלה הוא כדור B.

מכאן גם .

סעיף ב׳ - גובה המגדל H

נפרק את התנועה של כדור B לשלבים:

מ-0 עד 0.5 שניות - הכדור עולה. השטח הוא משולש מתחת לציר:

•  כלומר הכדור עלה  מעל ראש המגדל.
• מ-0.5 עד 1 שנייה - הכדור יורד. זה משולש זהה מעל הציר: הכדור ירד  וחזר לגובה ראש המגדל. (אם לקח לו חצי שנייה לעלות, ייקח לו עוד חצי שנייה לרדת.)
• מ-1 עד 5 שניות - הנפילה מראש המגדל לקרקע. זה מה שמתאר את גובה המגדל.

השטח מ-1 עד 5 שניות הוא טרפז. שטח טרפז הוא הגובה כפול ממוצע הבסיסים:

גובה המגדל: .

טעות נפוצה: לחשב את המשולש מ-0.5 עד 5 שניות:

זה המרחק מהשיא של הכדור עד הקרקע, ולא גובה המגדל. ההפרש, , הוא בדיוק הגובה שהכדור עלה מעל המגדל.

אפשר גם לחשב את כל השטח מ-0 עד 5 שניות, בתנאי שהמשולש שמתחת לציר נספר כשלילי. אז שני המשולשים הקטנים מבטלים זה את זה, ומתקבלת אותה תשובה.

סעיף ג׳ - המרחק בין A ל-B בזמן

משוואות כדור A בצבע כחול, ומשוואות כדור B בצבע כתום.

כדור A נזרק כלפי מטה באותו גודל מהירות, ולכן הגרף שלו מתחיל ב-. יש לו אותו שיפוע (אותה תאוצה), כלומר הוא קו מקביל לגרף של B.

דרך ארוכה - מיקום כל כדור בנפרד

כדור B: השטח מ-0 עד 1 שנייה מתבטל (עלייה וירידה), ונשאר הטרפז מ-1 עד 2 שניות, בין המהירויות 5 ו-15:

$$\color[RGB]{232,130,58}{x_B=(2-1)\cdot\frac{5+15}{2}=10\text{m}}$$

כדור A: טרפז מ-0 עד 2 שניות, בין המהירויות 5 ו-25:

$$\color[RGB]{31,111,178}{x_A=2\cdot\frac{5+25}{2}=30\text{m}}$$

(אותו חישוב בדיוק נותנת נוסחת הקינמטיקה : הנוסחה הזו היא שטח הטרפז.)

$$\Delta x=\color[RGB]{31,111,178}{x_A}-\color[RGB]{232,130,58}{x_B}=30-10=20\text{m}$$

דרך קצרה - רק ההפרש

לשני הכדורים יש אותה תאוצה. התאוצה משנה את המיקום של כל כדור, אבל היא משנה את שניהם באותה מידה, ולכן היא לא משפיעה על ההפרש ביניהם. אפשר להתעלם ממנה.

בלי תאוצה, השאלה הופכת לפשוטה: כדור אחד נע במהירות 5 לכיוון אחד, והשני במהירות 5 לכיוון השני. כמו שתי רכבות שנוסעות בכיוונים הפוכים, המרחק ביניהם גדל ב-10 מטר בכל שנייה:

אותו דבר עם נוסחת המיקום:

$$\color[RGB]{31,111,178}{x_A=x_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2}$$ $$\color[RGB]{232,130,58}{x_B=x_0-v_0t+\frac{1}{2}gt^2}$$

בחיסור,  ו- מצטמצמים, ונשאר:

$$\Delta x=\color[RGB]{31,111,178}{x_A}-\color[RGB]{232,130,58}{x_B}=2v_0t$$

בגרף רואים את זה כך: ההפרש הוא השטח בין שני הקווים המקבילים. כל שנייה נוספת מוסיפה מקבילית שגובהה 10 ורוחבה 1, כלומר 10 מטר.

המרחק בין הכדורים: .

סעיף ד׳ - המשמעות של הערכים בגרף

(1) שיפוע הגרף - התאוצה. כל שלושת הכדורים בנפילה חופשית, ולכל גוף בנפילה חופשית יש תאוצה , בין אם נזרק למעלה, למטה או שוחרר ממנוחה. המהירות משתנה, אבל קצב השינוי שלה זהה. זהה לשלושת הגרפים.

(2) נקודת החיתוך עם ציר המהירות - המהירות ההתחלתית:  ל-A,  ל-B ו-0 ל-C. שונה.

(3) השטח בין הגרף לציר הזמן - ההעתק. כאן הניסוח של השאלה לא חד־משמעי, והנימוק חשוב יותר מהתשובה:

• אם מחשבים את השטח עם סימן (שטח מתחת לציר שלילי) - כל הכדורים עברו מראש המגדל לקרקע, כלומר העתק של . השטח זהה לכולם.
• אם מחשבים את השטח הגאומטרי (שטח תמיד חיובי) - לכדור B יש שני משולשים נוספים (עלייה וירידה), ולכן השטח שלו גדול יותר. השטחים לא זהים.

שטח במובן הגאומטרי הוא תמיד חיובי, ולכן התשובה הבטוחה היא שהשטחים לא זהים: לכדור B יש שטח נוסף שמתאר את העלייה והירידה. ההעתק עצמו (השטח עם סימן) זהה לכולם.

סעיף ה׳ - חיכוך קבוע: מהירות הפגיעה של A ושל B

קודם, בלי חיכוך: כדור B נזרק למעלה במהירות 5, עולה, יורד, וחוזר לגובה ראש המגדל במהירות 5 כלפי מטה. מהרגע הזה הוא בדיוק במצב של כדור A ברגע הזריקה: אותו גובה, אותה מהירות כלפי מטה. לכן בלי חיכוך שניהם פוגעים בקרקע באותה מהירות (אבל בזמנים שונים).

עם חיכוך: החיכוך פועל נגד כיוון התנועה ומאט את כדור B גם בעלייה וגם בירידה. לכן כשכדור B חוזר לגובה ראש המגדל, המהירות שלו כבר קטנה מ-5.

מכאן והלאה שני הכדורים נופלים מאותו גובה, עם אותם כוחות (אותו משקל ואותו חיכוך). אבל כדור A מתחיל את הנפילה במהירות 5, וכדור B מתחיל אותה במהירות קטנה מ-5. מי שמתחיל במהירות קטנה יותר מסיים במהירות קטנה יותר.

גודל המהירות של כדור A ברגע הפגיעה בקרקע גדול מגודל המהירות של כדור B.

(אותה מסקנה מתקבלת משיקולי אנרגיה: לשני הכדורים אותה אנרגיה התחלתית, אבל כדור B עובר דרך ארוכה יותר, ולכן החיכוך מוציא ממנו יותר אנרגיה.)