בגרות – רחפן משחרר כדורים

רחפן טס אופקית במהירות קבועה שגודלה \( v_x=3\ \mathrm{m/s} \). הרחפן משחרר כדור ממנוחה (ביחס אליו) מגובה \( 6\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע.

א. זמן נפילת הכדור לקרקע

בציר האנכי הכדור נמצא בנפילה חופשית טהורה (מהירות אנכית התחלתית אפס). בוחרים כיוון חיובי כלפי מטה, וראשית בנקודת השחרור:

$$ y = \tfrac12 gt^2 \quad\Rightarrow\quad 6 = 5t^2 \quad\Rightarrow\quad t \approx 1.1\ \mathrm{s} $$

ב. מהירות הכדור ברגע הפגיעה בקרקע

תנועת הכדור היא זריקה אופקית מנקודת השחרור. הרכיב האופקי של מהירותו שווה למהירות הרחפן ואינו משתנה (אין כוח הפועל בכיוון האופקי):

$$ v_x = 3\ \mathrm{m/s} $$

הרכיב האנכי ברגע הפגיעה:

$$ v_y = v_{0y}+gt = 0+10\times1.1 = 11\ \mathrm{m/s} $$

גודל מהירות הפגיעה הכולל:

$$ v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{3^2+11^2} \approx 11.4\ \mathrm{m/s} $$

כיוון מהירות זו מתחת לקו האופקי:

$$ \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{11}{3} \quad\Rightarrow\quad \theta \approx 74.7^\circ $$

ג. המרחק האופקי בין שני כדורים עוקבים

הרחפן משחרר כדור שני, זהה לראשון, כעבור \( \Delta t=0.5\ \mathrm{s} \). מכיוון ששני הכדורים נעים עם אותה מהירות אופקית קבועה כמו הרחפן (\( 3\ \mathrm{m/s} \)), בכל רגע נתון המרחק האופקי ביניהם שווה למרחק שעבר הרחפן (ועימו כל כדור) בפרק הזמן שביניהם:

$$ \Delta x = v_x\cdot\Delta t = 3\times0.5 = 1.5\ \mathrm{m} $$

ד. תרשים מיקומי הכדורים והרחפן

מכיוון שלכדורים המשתחררים יש בכל רגע את אותה מהירות אופקית כמו לרחפן, הכדורים והרחפן נמצאים תמיד על קו אחד, המאונך לקרקע (כלומר קו אנכי אחד, נע יחד עם כולם באותה מהירות אופקית). מכיוון שהמרחק האנכי בין הכדורים (שהשתחררו בזמנים שונים) הולך וגדל עם הזמן, עקב תאוצת הנפילה החופשית - התרשים הנכון הוא זה שמראה קו אנכי אחד, עם מרחקים הולכים וגדלים בין הכדורים.