בגרות

כדור A נזרק כלפי מעלה ממרגלות בניין שגובהו \( H=300 \ m \), במהירות \( v_{0A}=40 \ m/s \). באותו הרגע נזרק כדור B מגג הבניין כלפי מטה, במהירות \( v_{0B}=20 \ m/s \). הכדורים חולפים זה ליד זה ואינם מתנגשים. מגדירים ציר \( y \) שראשיתו O בגובה הקרקע, וכיוונו החיובי כלפי מעלה. משתמשים ב-\( g=10 \ m/s^2 \).

א. הגובה המרבי של כדור A

בנקודת הגובה המרבי המהירות מתאפסת:

$$ h_{max} = \frac{v_{0A}^2}{2g} = \frac{40^2}{2\times10} = 80 \ m $$

ב. זמן פגיעת כדור A בקרקע

כדור A חוזר לגובה \( y=0 \) לאחר זמן טיסה סימטרי (עולה ויורד לאותו גובה שממנו נזרק):

$$ t = \frac{2v_{0A}}{g} = \frac{2\times40}{10} = 8 \ s $$

ג. הרגע שבו הכדורים באותו גובה

מיקום כדור A: \( y_A(t) = v_{0A}t - \tfrac12 gt^2 = 40t - 5t^2 \)

מיקום כדור B (יורד מגובה H): \( y_B(t) = H - v_{0B}t - \tfrac12 gt^2 = 300 - 20t - 5t^2 \)

משווים \( y_A(t)=y_B(t) \):

$$ 40t - 5t^2 = 300 - 20t - 5t^2 \quad\Rightarrow\quad 60t = 300 \quad\Rightarrow\quad t = 5 \ s $$

(בגובה \( y=75 \ m \) מעל הקרקע.)

ד. גרף המרחק בין הכדורים כפונקציה של הזמן

המרחק בין הכדורים הוא \( \Delta y(t) = y_B(t)-y_A(t) \). שימו לב שהאיברים הריבועיים (\( -5t^2 \)) מבוטלים משני הצדדים, כי לשני הכדורים אותה תאוצה:

$$ \Delta y(t) = (300-20t-5t^2)-(40t-5t^2) = 300-60t $$

זהו קו ישר יורד: מתחיל ב-\( 300 \ m \) בזמן \( t=0 \), ומגיע ל-\( 0 \) בזמן \( t=5 \ s \) - בדיוק הרגע שמצאנו בסעיף ג׳. השיפוע \( -60 \ m/s \) הוא המהירות היחסית הקבועה שבה הכדורים מתקרבים זה לזה (\( v_{0A}+v_{0B}=40+20=60 \ m/s \)).