בגרות – גרף מיקום זמן

אדם עמד על גג בניין וזרק כדור בכיוון אנכי כלפי מעלה. הגרף הנתון מתאר את המיקום האנכי \( y \) של הכדור כפונקציה של הזמן, מרגע הזריקה ועד לסף פגיעתו בקרקע. בגרף מסומנות הנקודות A, B, C ו-D: \( A \) היא נקודת הזריקה (\( t=0,\ y=40\ \mathrm{m} \) - גובה הגג), \( B \) היא שיא המסלול (\( t=1\mathrm{s},\ y=45\ \mathrm{m} \)), \( C \) נקודה נוספת על המסלול היורד (\( t=3\mathrm{s},\ y=25\ \mathrm{m} \)), ו-\( D \) היא רגע הפגיעה בקרקע (\( t=4\mathrm{s},\ y=0 \)). התנגדות האוויר ניתנת להזנחה. ציר \( y \) חיובי כלפי מעלה.

שימו לב: גרף מיקום-זמן מכיל בתוכו את כל המידע הדרוש - גם על המהירות וגם על התאוצה, גם אם הם לא רשומים עליו במפורש. השיפוע של הגרף בכל נקודה הוא המהירות הרגעית שם; לכן כל תשובה בסעיפים הבאים נשענת אך ורק על מה שקריא מהגרף (או מחושב ממנו), ולא על הנחות נוספות.

א. גודל המהירות ההתחלתית

בנקודה B (שיא המסלול) המהירות מתאפסת: \( v_B=0 \) ב-\( t_B=1\mathrm{s} \). משתמשים במשוואת המהירות-זמן, מ-A (רגע הזריקה) ל-B:

$$ v_B = v_A - g t_B \quad\Rightarrow\quad v_A = v_B + g t_B = 0 + 10\times1 = 10\ \mathrm{m/s} $$

ב. השוואת מהירות ותאוצה בנקודות שונות

(1) גודל המהירות הרגעית בנקודה C גדול מגודלה בנקודה A.

נימוק (שיקולי סימטריה): לפי הגרף, כעבור \( 2\mathrm{s} \) מהזריקה הכדור חוזר לגובה שממנו נזרק (\( y=40\ \mathrm{m} \) שוב). מכיוון שהתנועה שוות-תאוצה, גודל מהירותו באותו רגע זהה לגודל מהירותו ברגע הזריקה (רק בכיוון הפוך - כלפי מטה). מרגע זה (\( t=2\mathrm{s} \)) ואילך התאוצה פועלת באותו כיוון של התנועה (כלפי מטה), כך שגודל המהירות ממשיך לגדול. לכן בנקודה C (\( t=3\mathrm{s} \)), גודל המהירות בהכרח גדול יותר מבנקודה A.

ניתן גם לחשב זאת ישירות: \( v_C = v_A - g t_C = 10-10\times3=-20\ \mathrm{m/s} \), כלומר \( |v_C|=20\ \mathrm{m/s} > |v_A|=10\ \mathrm{m/s} \).

(2) התאוצה של הכדור בנקודה B זהה לתאוצתו בנקודה A - הן בגודלה והן בכיוונה.

נימוק: הכדור נמצא לאורך כל תנועתו בנפילה חופשית (רק כוח הכובד פועל עליו), שהוא כוח קבוע בגודלו ובכיוונו. לכן תנועתו היא תנועה שוות-תאוצה לכל אורכה, בפרט גם בנקודה A וגם בנקודה B: גודל התאוצה \( 10\ \mathrm{m/s^2} \), כיוונה כלפי מטה - בשתי הנקודות כאחד.

ג. המהירות הממוצעת מרגע הזריקה ועד לפגיעה בקרקע

$$ \bar v = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y_D - y_A}{t_D-t_A} = \frac{0-40}{4-0} = -10\ \mathrm{m/s} $$

גודל המהירות הממוצעת \( 10\ \mathrm{m/s} \), כיוונה כלפי מטה.

ד. גרף המהירות כפונקציה של הזמן

מכיוון שהתאוצה קבועה (\( -g=-10\ \mathrm{m/s^2} \)) לכל אורך התנועה, גרף המהירות הוא קו ישר יורד, ששיפועו \( -10\ \mathrm{m/s^2} \) וחיתוכו עם ציר \( v \) (ב-\( t=0 \)) הוא \( v_A=10\ \mathrm{m/s} \). ערכי המהירות בארבע הנקודות (מחושבים לפי \( v(t)=v_A-gt \)):

מסמנים את ארבע הנקודות הללו (a, b, c, d) על קו ישר יחיד היורד באופן אחיד מ-\( (0,10) \) עד \( (4,-30) \).

ה. השפעת כוח אופקי רגעי בנקודה C על הגרף y(t)

הגרף y(t) הנתון לא ישתנה.

נימוק: הכוח הנוסף אופקי. לפי החוק השני של ניוטון, כוח אופקי גורם לתאוצה בציר האופקי (x) בלבד - הוא משפיע רק על הרכיב האופקי של המהירות ושל המיקום. הרכיב האנכי של המהירות והמיקום (זה שמתואר בגרף y(t) הנתון) אינו מושפע כלל מכוח זה. מכיוון שהגרף הנתון מתאר את התנועה בציר האנכי בלבד, הוא נשאר בדיוק כפי שהיה.