בגרות – ישור לינארי

נתוני השאלה

בניסוי בליסטי (כדור/עגלה הנע במהירות אופקית קבועה \( v_0 \) ונופל מגובה h עד לפגיעה בקרקע במרחק אופקי d מנקודת השחרור), נמדדו התוצאות הבאות לגבהים שונים:

h (m): 10, 20, 30, 40, 50

d (m): 21.2, 31.6, 38.1, 43.6, 47.4

סעיף א - זיהוי גרפים

לפניכם ארבעה גרפי מהירות-זמן: גרף א (קו יורד ליניארית מערך התחלתי גבוה ל-0), גרף ב (קו עולה ליניארית מ-0), גרף ג (קו אופקי - מהירות קבועה), גרף ד (עקומה עולה שמתמתנת/מתייצבת).

(1) המהירות האופקית של הגוף הנופל אינה מושפעת מהכבידה (הכוח פועל רק אנכית) - היא נשארת קבועה לאורך כל הנפילה. התשובה: גרף ג.

(2) המהירות האנכית נובעת מהתאוצה הקבועה של הכבידה, ומתחילה מאפס (בהנחה שאין מהירות אנכית התחלתית): \( v_y=gt \) - קשר ליניארי עולה מהראשית. התשובה: גרף ב.

(גרפים א ו-ד אינם מתארים אף אחד מהמקרים כאן - גרף א מתאר האטה ליניארית, גרף ד מתאר גידול שמתמתן, כמו מהירות סופנית.)

הקשר הפיזיקלי - למה d ו-h אינם ליניאריים

זמן הנפילה מגובה h הוא \( t=\sqrt{2h/g} \), והמרחק האופקי הוא \( d=v_0t \). לכן:

$$ d = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} $$

קשר זה אינו ליניארי בין d ל-h (d תלוי בשורש של h) - גרף d כפונקציה של h הוא עקומה, לא קו ישר.

ישור לינארי - d² כפונקציה של h

מעלים בריבוע את שני האגפים:

$$ d^2 = v_0^2\cdot\frac{2h}{g} = \left(\frac{2v_0^2}{g}\right)h $$

זהו קשר ליניארי בין \( d^2 \) ל-h, עם שיפוע \( \frac{2v_0^2}{g} \). מחשבים את \( d^2 \) לכל שורה בטבלה:

h (m): 10, 20, 30, 40, 50

d² (m²): 449.4, 998.6, 1451.6, 1901.0, 2246.8

קו מגמה ושיפוע

משרטטים את הנקודות \( (h, d^2) \), מעבירים קו מגמה יחיד המתייחס רק למדידות בפועל (לא מכריחים דרך הראשית). בודקים שהיחס \( d^2/h \) די קבוע בכל הנקודות (כ-45 לכולן) - זה מאשש שהמגמה אכן ליניארית וכמעט עוברת דרך הראשית. לוקחים שתי נקודות מרוחקות על קו המגמה, למשל תחילת הקו וסופו:

$$ slope = \frac{2246.8-449.4}{50-10} = \frac{1797.4}{40} \approx 45\,m $$

חילוץ מהירות השחרור v0

לפי הקשר \( slope=\frac{2v_0^2}{g} \), עם \( g=10\,m/s^2 \):

$$ v_0^2 = \frac{slope\cdot g}{2} = \frac{45\cdot10}{2} = 225 \quad\Rightarrow\quad v_0 = 15\,m/s $$