קפיץ אופקי וקו מגמה לכוח מול מיקום

פתרון - קפיץ אופקי וקו מגמה לכוח מול מיקום (בגרות 2025, שאלה 5)

נתון: גוף מסה $m=0.5\text{kg}$ על שולחן אופקי חלק, מחובר לקפיץ המחובר לקיר. בניסוי הראשון, הגוף נמשך למרחק \text{cm}$ מנקודת שיווי המשקל.

סעיף א׳ - האם כל תנועה מחזורית היא הרמונית פשוטה

לא כל תנועה מחזורית היא הרמונית פשוטה. דוגמה נגדית: תנועה מעגלית אחידה של גוף (התנועה מחזורית - חוזרת על עצמה בכל מחזור), אך אינה תנועה הרמונית פשוטה, מכיוון שהתאוצה בה קבועה בגודלה (תאוצה צנטריפטלית) ואינה פרופורציונית לתזוזה מנקודת שיווי משקל לאורך ציר יחיד ומכוונת אליה, כפי שנדרש בהגדרת תנועה הרמונית פשוטה.

סעיף ב׳ - גרף F כנגד x וקו מגמה

מציבים את 7 נקודות המדידה על גרף (F בציר Y, x בציר X) ומעבירים קו מגמה (רגרסיה לינארית).

סעיף ג׳ - חישוב $\omega$ משיפוע הגרף

שיפוע קו המגמה (ביחידות SI, $x$ במטרים):

$$\text{שיפוע} = -k \approx -15.86\text{N/m} \quad\Rightarrow\quad k\approx15.86\text{N/m}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{15.86}{0.5}} \approx 5.63\text{rad/s}

סעיף ד׳ - מיקום המהירות המקסימלית וערכה

המהירות מקסימלית בנקודת שיווי המשקל, $x=0$ (שם הכוח וגם התאוצה מתאפסים - תואם את נקודת החיתוך של קו המגמה עם ציר ה-x).

אמפליטודה (מהניסוי הראשון): $A=0.60\text{m}$

$$v_{max} = A\omega = 0.60\cdot5.63 \approx 3.38\text{m/s}\ \text{ב-}x=0

סעיף ה׳ - השוואת תדירות בניסוי השני

בניסוי השני הגוף יוצא משיווי משקל ($x=0$) עם מהירות התחלתית (שמאלה) כפולה מזו שחושבה בסעיף ד׳: $v_0=2\cdot3.38=6.76\text{m/s}$.

בתנועה הרמונית פשוטה, התדירות הזוויתית $\omega=\sqrt{k/m}$ תלויה רק בקבוע הקפיץ ובמסה - היא אינה תלויה באמפליטודה או במהירות ההתחלתית. מכיוון שאותו קפיץ (אותו $k$) ואותה מסה ($m$) משמשים בשני הניסויים:

התדירות בניסוי השני זהה (שווה) לזו שבניסוי הראשון. (רק האמפליטודה משתנה - גדלה פי 2, ל-$A_2=v_0/\omega\approx1.20\text{m}$ - אך לא התדירות.)