עגלה וקפיץ עם טבלת מיקומים

מכניקה תנועה הרמונית עגלה וקפיץ עם טבלת מיקומים

בתהליך

פתרון - עגלה וקפיץ עם טבלת מיקומים (בגרות 2018, שאלה 5)

נתון: עגלה מסה $M=3\text{kg}$ על מסילה אופקית, קפיץ דחוס ב-\text{cm}$. העגלה צולמה מנקודה $B_1$ (התחלה) ועד $B_2$ (עצירה ראשונה), בפרקי זמן של

פתרון - עגלה וקפיץ עם טבלת מיקומים (בגרות 2018, שאלה 5)

נתון: עגלה מסה $M=3\text{kg}$ על מסילה אופקית, קפיץ דחוס ב-$20\text{cm}$. העגלה צולמה מנקודה $B_1$ (התחלה) ועד $B_2$ (עצירה ראשונה), בפרקי זמן של $0.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל $4.77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

(3) הזמן המוקדם ביותר $t_2$ שבו פועל אותו כוח (גודל וכיוון) שוב: מכיוון שהכוח בתנועה הרמונית תלוי אך ורק במיקום $x$ (ולא בכיוון התנועה), אותו כוח בדיוק חוזר בכל פעם שהעגלה שבה לאותו $x=36.1\text{cm}$. מסימטריית התנועה סביב נקודת הקיצון $B_2$ (המתקבלת ב-$t=1.0\text{s}$): $x(1.0-\Delta)=x(1.0+\Delta)$. לכן:

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(2) אם דוחסים את הקפיץ ב-$10\text{cm}$ במקום $20\text{cm}$ (שינוי אמפליטודה בלבד): מחזור תנועה הרמונית פשוטה אינו תלוי באמפליטודה. T נשאר זהה.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי $1/\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(2) אם דוחסים את הקפיץ ב-\text{cm}$ במקום \text{cm}$ (שינוי אמפליטודה בלבד): מחזור תנועה הרמונית פשוטה אינו תלוי באמפליטודה. T נשאר זהה.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.

.1\text{s}$.

t (s)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
x (cm)	0	1.0	3.9	8.3	13.8	20.0	26.2	31.7	36.1	39.0	40.0

סעיף א׳ - מחזור T ואמפליטודה A

$B_1$ ($x=0$) ו-$B_2$ ($x=40\text{cm}$, עצירה רגעית) הן שתי נקודות הקיצון של התנועה ההרמונית. הזמן מ-$B_1$ ל-$B_2$ הוא חצי מחזור:

$$\frac{T}{2}=1.0\text{s} \quad\Rightarrow\quad T=2.0\text{s}

נקודת שיווי המשקל היא באמצע בין שתי הקיצוות: $x_{eq}=20\text{cm}$. האמפליטודה:

$$A=\frac{40-0}{2}=20\text{cm}=0.20\text{m}

סעיף ב׳ - מהירות מקסימלית

המהירות המקסימלית מתקבלת בנקודת שיווי המשקל ($x=20\text{cm}$, בטבלה: $t=0.5\text{s}$). לפי הפרש מרכזי מנתוני הטבלה:

$$v(0.5) \approx \frac{x(0.6)-x(0.4)}{2\cdot0.1} = \frac{26.2-13.8}{0.2}\text{cm/s} = 62\text{cm/s} = 0.62\text{m/s}

בדיקה עם הנוסחה $v_{max}=A\omega=A\cdot\dfrac{2\pi}{T}=0.20\cdot\dfrac{2\pi}{2.0}=0.20\pi\approx0.628\text{m/s}$ - תואם היטב.

סעיף ג׳ - קבוע הקפיץ k

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$$ $$k = M\omega^2 = 3\cdot\pi^2 \approx 29.6\text{N/m}

סעיף ד׳ - בנקודה C, $t_1=0.8\text{s}$ ($x=36.1\text{cm}$)

תזוזה מנקודת שיווי המשקל: $y=36.1-20=16.1\text{cm}=0.161\text{m}$ (בצד ה-$B_2$, מרוחק מ-$B_1$).

(1) דיאגרמת כוחות: הקפיץ מפעיל כוח משחזר, המכוון תמיד לכיוון שיווי המשקל - כאן לכיוון $B_1$ (מנוגד לכיוון ה-$x$ הגדל).

(2) גודל וכיוון הכוח השקול:

$$F=-ky=-29.6\cdot0.161\approx-4.77\text{N}$$

כלומר גודל .77\text{N}$, מכוון לעבר $B_1$ (לכיוון קטן x, חזרה לשיווי המשקל).

$$t_2 = 1.0+(1.0-0.8) = 1.2\text{s}

סעיף ה׳ - שינויים במחזור T

(1) אם מחליפים את העגלה במסה $M_1=2M$ (אותו קפיץ): $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת המסה מגדילה את T פי $\sqrt2$. T גדל.

(3) אם מחליפים את הקפיץ בקפיץ עם $k_1=2k$: $T=2\pi\sqrt{M/k}$ - הכפלת $k$ מקטינה את T פי /\sqrt2$. T קטן.