לוויין אקספלורר 1 במסלול אליפטי

פתרון - לוויין אקספלורר 1 במסלול אליפטי (בגרות 2025, שאלה 6)

נתון: הלוויין אקספלורר 1 (מסה $m=14\text{kg}$) נע במסלול אליפטי סביב כדור הארץ. גובה מרבי (אפוגיאון, נקודה A): 15\text{km}$ מעל פני כדור הארץ. גובה מזערי (פריגיאון, נקודה B): 4\text{km}$ מעל פני כדור הארץ.

קבועים (מדף הנוסחאות): $G=6.67\times10^{-11}\text{Nm}^2/\text{kg}^2$, $M_E=6\times10^{24}\text{kg}$, $R_E=6.37\times10^6\text{m}$.

סעיף א׳ - השוואת מהירויות בנקודות A ו-B

שימור תנע זוויתי (כוח הכבידה מרכזי, אין מומנט חיצוני): $m v_A r_A = m v_B r_B$, כאשר $r_A>r_B$ (אפוגיאון רחוק יותר). לכן:

$$v_B > v_A$$

המהירות בנקודה B (פריגיאון, הקרובה) גדולה יותר מהמהירות בנקודה A (אפוגיאון, הרחוקה).

סעיף ב׳ - האם הכבידה מבצעת עבודה מ-A ל-B

כן. בתנועה מ-A (רחוק) ל-B (קרוב), הלוויין מתקרב לכדור הארץ, האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית קטנה, והאנרגיה הקינטית גדלה (בהתאם לסעיף א׳ - $v_B>v_A$). לכן כוח הכבידה מבצע עבודה חיובית על הלוויין בתנועה מ-A ל-B.

סעיף ג׳ - רדיוס מסלול מעגלי עם מחזור $T=100$ דקות

$T=100\cdot60=6000\text{s}$. משווים כוח הכבידה לכוח הצנטריפטלי:

$$\frac{GM_Em}{r^2} = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r \quad\Rightarrow\quad r^3=\frac{GM_ET^2}{4\pi^2}$$ $$r^3 = \frac{6.67\times10^{-11}\cdot6\times10^{24}\cdot(6000)^2}{4\pi^2} = \frac{4.00\times10^{14}\cdot3.6\times10^7}{39.48}\approx3.65\times10^{20}\text{m}^3$$ $$r\approx7.14\times10^6\text{m}\ (\approx7144\text{km},\text{ כלומר גובה של כ-}773\text{km מעל הקרקע})$$

סעיף ד׳ - עבודה להעלאת המסלול ב-1000km

אנרגיה מכנית כוללת במסלול מעגלי: $E=-\dfrac{GM_Em}{2r}$. העבודה הדרושה שווה להפרש האנרגיות:

$$r_1\approx7.14\times10^6\text{m}, \quad r_2=r_1+10^6\approx8.14\times10^6\text{m}$$ $$W=E_2-E_1=\frac{GM_Em}{2}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$ $$=\frac{6.67\times10^{-11}\cdot6\times10^{24}\cdot14}{2}\left(\frac{1}{7.14\times10^6}-\frac{1}{8.14\times10^6}\right)$$ $$\approx2.80\times10^{15}\cdot1.72\times10^{-8}\approx4.8\times10^7\text{J}$$

סעיף ה׳ - האם המחזור במסלול החדש גדול/קטן/זהה

לפי חוק קפלר השלישי, $T^2\propto r^3$. מכיוון ש-$r_2>r_1$, המחזור במסלול החדש גדול יותר מ-100 דקות.