בגרות

תלמיד עומד על גג בניין ומחזיק שני כדורים A ו-B. הוא משחרר את כדור A מנוחה בגובה הגג ברגע \( t=0 \). ברגע \( t=1s \) הוא זורק את כדור B כלפי מטה במהירות \( 14 \ m/s \) מאותו גובה. מגדירים ציר \( y \) שראשיתו בגובה הגג, וכיוונו החיובי כלפי מטה. משתמשים ב-\( g=10 \ m/s^2 \).

א1. מיקום כדור A כפונקציה של הזמן

כדור A נופל בנפילה חופשית מנוחה החל מ-\( t=0 \):

$$ y_A(t) = \tfrac12 gt^2 = 5t^2 \qquad (t\geq0) $$

א2. מיקום כדור B כפונקציה של הזמן

כדור B נשאר בגובה הגג עד לרגע הזריקה, ומאותו רגע נופל עם מהירות התחלתית \( 14 \ m/s \) כלפי מטה:

$$ y_B(t) = \begin{cases} 0 & 0\leq t<1 \ 14(t-1) + 5(t-1)^2 & t\geq1 \end{cases} $$

א3. מתי הכדורים "נפגשים" בגודלם (חולפים זה ליד זה)

משווים \( y_A(t) = y_B(t) \) עבור \( t\geq1 \):

$$ 5t^2 = 14(t-1)+5(t-1)^2 $$

פותחים את \( (t-1)^2 = t^2-2t+1 \):

$$ 5t^2 = 14t-14+5t^2-10t+5 = 5t^2+4t-9 $$

האיברים \( 5t^2 \) מצטמצמים משני האגפים:

$$ 0 = 4t-9 \quad\Rightarrow\quad t = 2.25 \ s $$

(מגובה הגג נופלים באותו רגע \( y_A(2.25)=y_B(2.25)=25.3 \ m \).)

ב1. מהירות כדור A ברגע t=1s

$$ v_A(1) = gt = 10\times1 = 10 \ m/s $$

ב2. אילו כדור B נזרק ב-10 m/s במקום 14 m/s

שימו לב: זו בדיוק המהירות שהייתה לכדור A ברגע הזריקה של B (סעיף ב1). כלומר, ברגע \( t=1s \), שני הכדורים היו נעים באותה מהירות בדיוק. מכאן ואילך שני הכדורים חווים את אותה תאוצה \( g \), ולכן ההפרש במהירויות ביניהם נשאר אפס לכל זמן נוסף - המרחק ביניהם (שכבר נפער במהלך השנייה הראשונה, שבה A כבר נפל וB עדיין החזיק) נשאר קבוע לנצח, ואינו הולך ומצטמצם. לכן הכדורים לא היו נפגשים כלל - לא לפני הפגיעה בקרקע ולא אחריה.