עליה וירידה במדרון מחוספס

עלייה וירידה במדרון - השוואה בין מדרון חלק למדרון מחוספס

כאשר גוף מוזנק במעלה מדרון (בכיוון אחד) או מוזנק במורד מדרון (בכיוון השני), ניתן לנתח את תנועתו באמצעות גרף מהירות-זמן. חשוב להבחין בין המקרה החלק (ללא חיכוך) למקרה המחוספס (עם חיכוך) - שכן ההבדל ביניהם קובע את צורת הגרף.

קביעת כיוון חיובי מתוך הגרף

בטרם מנתחים גרף מהירות-זמן, יש לזהות איזה כיוון הוגדר כחיובי. אם המהירות ההתחלתית בגרף היא חיובית, סימן שהכיוון שנבחר כחיובי הוא כיוון המהירות ההתחלתית של הגוף. אם הגוף מאט, עוצר ולאחר מכן המהירות הופכת לשלילית - זהו סימן ברור לתנועה במעלה ואז חזרה במורד (או להפך), כאשר הכיוון המקורי הוגדר כחיובי.

מדרון חלק - תאוצה קבועה בגודלה לאורך כל התנועה

במדרון ללא חיכוך, הכוח היחיד הפועל על הגוף לאורך המדרון הוא רכיב כוח הכובד:

$$ a = g\sin\alpha $$

תאוצה זו קבועה בגודלה ובכיוונה (תמיד כלפי מטה לאורך המדרון) לאורך כל התנועה - הן בעלייה, הן ברגע העצירה הרגעית, והן בירידה. משמעות הדבר בגרף מהירות-זמן: השיפוע (התאוצה) זהה במהלך כל התנועה, ולכן הגרף הוא קו ישר אחד, רציף, מתחילתו ועד סופו.

מדרון מחוספס - שני שיפועים שונים בעלייה ובירידה

כאשר יש חיכוך בין הגוף למדרון, כוח החיכוך תמיד מנוגד לכיוון התנועה היחסית (ולא לכיוון מסוים קבוע במרחב) - כלומר, כיוונו מתהפך ברגע שהגוף משנה כיוון תנועה.

בעלייה במדרון: הן רכיב כוח הכובד והן כוח החיכוך פועלים כלפי מטה לאורך המדרון (שניהם מתנגדים לתנועה כלפי מעלה). לכן ההאטה גדולה יחסית:

$$ a_{up} = g\sin\alpha + \mu g\cos\alpha $$

בירידה במדרון: רכיב כוח הכובד ממשיך לפעול כלפי מטה לאורך המדרון (כעת בכיוון התנועה), אך כוח החיכוך מתהפך ומתנגד לתנועה כלפי מטה - כלומר פועל כלפי מעלה. לכן התאוצה נטו קטנה יותר בגודלה:

$$ a_{down} = g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha $$

המשמעות בגרף מהירות-זמן

מכיוון ש-\( a_{up} > a_{down} \) בגודלן המוחלט, גרף המהירות-זמן במדרון מחוספס מורכב משני קטעים ישרים בעלי שיפועים שונים בגודלם:

• הקטע המתאר את העלייה - שיפוע תלול יותר (ירידה מהירה יותר של המהירות עד לאפס).
• הקטע המתאר את הירידה - שיפוע מתון יותר (עלייה איטית יותר של גודל המהירות, בכיוון השלילי).

זהו ההבדל המרכזי שיש לחפש כאשר בוחרים בין מספר גרפים אפשריים: גרף התואם למדרון חלק יהיה קו ישר אחד רציף (שיפוע אחיד), ואילו גרף התואם למדרון מחוספס יהיה "שבור" בנקודה בה המהירות מתאפסת (הרגע בו הגוף עוצר ומתחיל לחזור), עם שיפוע תלול יותר לפני נקודת האפס ושיפוע מתון יותר אחריה.

שימוש בשטח מתחת לגרף למציאת מרחקים

המרחק שעבר הגוף בין שני רגעים מסוימים שווה לשטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן, באותו קטע זמן (תוך התייחסות לשטח שמתחת לציר כשלילי). כדי למצוא מרחק בין שתי נקודות ציון (למשל, בין נקודת ההתחלה לגובה המרבי, או בין שתי נקודות במסלול), יש לחשב את שטח המשולש (או הטרפז) המתאים בגרף:

$$ d = \frac{1}{2} v_0 t $$

כאשר \( v_0 \) היא המהירות ההתחלתית באותו קטע ו-\( t \) הזמן עד לעצירה (שיפוע הגרף נותן את התאוצה, שממנה ניתן לחשב גם את הזמן אם אינו נתון ישירות).