מאנרגיית גובה לקינטית

ממסילה חלקה לזריקה אופקית - מאנרגיית גובה לאנרגיה קינטית

במערכת מסוג זה, גוף מוחלק ממנוחה (או ממהירות התחלתית נתונה) לאורך מסילה חלקה (ללא חיכוך) בעלת ירידה בגובה מסוים, ויוצא בקצה המסילה בכיוון אופקי. לאחר מכן הוא ממשיך בתנועה כגוף הנופל נפילה חופשית (זריקה אופקית) עד שפוגע ברצפה.

שלב 1 - שימור אנרגיה לאורך המסילה

מכיוון שהמסילה חלקה (ללא חיכוך), אנרגיה מכנית נשמרת לאורכה. ירידה בגובה h לאורך המסילה הופכת אנרגיית גובה לאנרגיה קינטית נוספת:

$$ \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2 $$

כאשר \( v_0 \) היא המהירות ההתחלתית של הגוף בכניסה למסילה, ו-\( v_B \) היא מהירותו ביציאה מהמסילה (בקצה התחתון, בכיוון אופקי). מכאן:

$$ v_B^2 = v_0^2 + 2gh $$

שלב 2 - זריקה אופקית מקצה המסילה

מרגע היציאה מהמסילה, הגוף מבצע זריקה אופקית מגובה H (גובה השולחן/המסילה מעל הרצפה). זמן הנפילה עד לפגיעה ברצפה תלוי רק בגובה הנפילה:

$$ H = \frac{1}{2}gt^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2H}{g}} $$

המרחק האופקי שעובר הגוף עד לפגיעה:

$$ x = v_Bt = v_B\sqrt{\frac{2H}{g}} $$

שלב 3 - שילוב לקבלת קשר ליניארי

שילוב שתי המשוואות (העלאה בריבוע של x כדי לפטור מהשורש) נותן:

$$ x^2 = v_B^2 \cdot \frac{2H}{g} = (v_0^2+2gh)\cdot\frac{2H}{g} $$

$$ x^2 = \frac{2H}{g}v_0^2 + 4Hh $$

זהו קשר ליניארי בין \( x^2 \) (הציר האנכי בגרף) לבין h (הציר האופקי) - שיפוע הישר הוא \( 4H \), וחיתוך הציר האנכי (כאשר \( h=0 \)) הוא \( \frac{2H}{g}v_0^2 \).

שימוש בגרף לחילוץ נעלמים

הפיכת קשר לא-ליניארי (בין x לבין h) לגרף ליניארי (בין \( x^2 \) לבין h) היא טכניקה נפוצה - היא מאפשרת לחלץ קבועים פיזיקליים ישירות משיפוע וחיתוך הגרף הניסיוני:

• גובה השולחן H מתקבל ישירות מהשיפוע: \( H = \frac{\text{שיפוע}}{4} \)
• לאחר מציאת H, המהירות ההתחלתית \( v_0 \) מתקבלת מחיתוך הציר האנכי: \( v_0 = \sqrt{\dfrac{g\cdot\text{חיתוך}}{2H}} \)

הוכחת מפגש בין שני גופים נופלים

שאלה נפוצה בהמשך לבעיה מסוג זה: גוף נוסף משתחרר ממנוחה בו-זמנית (מגובה מסוים, במרחק אופקי נתון), ונדרש להוכיח ששני הגופים ייפגשו לפני הפגיעה בקרקע.

העיקרון: אילו לא הייתה פועלת כבידה כלל, הגוף הנע (הכדור שיצא מהמסילה) היה ממשיך בקו ישר, ומגיע בדיוק למיקומו ההתחלתי של הגוף הנופל (שכן זו הייתה מטרת הכיוון שבו נורה). כבידה משפיעה על שני הגופים באותה מידה בדיוק (אותה תאוצה g, ללא תלות במסה או במהירות) - כלומר, שניהם "נופלים" אותו מרחק אנכי נוסף ביחס למסלול שהיו עוברים ללא כבידה, באותו זמן נתון. כתוצאה מכך, המרחק בין שני הגופים (בהינתן שהכיוון ההתחלתי נכון) אינו מושפע כלל מהכבידה - הם ייפגשו בדיוק באותה נקודה שבה היו נפגשים ללא כבידה, רק בגובה נמוך יותר.

כדי להוכיח זאת פורמלית: יש לכתוב את משוואות המיקום (האופקי והאנכי) של שני הגופים כפונקציה של הזמן, ולהראות שקיים רגע זמן משותף שבו המיקומים האופקיים והאנכיים של שני הגופים זהים - כלומר, פתרון משותף למערכת המשוואות המתקיים לפני שמי מהגופים מגיע לרצפה.