משקולת מסה קיר מעוגל וחוט

משקולת, קיר מעוגל וחוט

מערכת נפוצה מסוג זה כוללת חוט המחובר בקצה אחד למשקולת תלויה, ועובר דרך פינה מעוגלת (המתפקדת כגלגלת אידיאלית, ללא חיכוך), עד לנקודת עיגון על קיר או משטח. כדי לנתח מערכת כזו יש לפרק את כוח המתיחות בחוט לרכיביו האופקי והאנכי, בהתאם לזווית שבה החוט פוגש את נקודת העיגון.

מדוע מופיע הטנגנס בפתרון?

כאשר גוף נמצא בשיווי משקל תחת השפעת כוח בזווית (כמו מתיחות חוט הנוטה בזווית ביחס לאופק או לאנך), כותבים שתי משוואות נפרדות - אחת עבור הציר האופקי ואחת עבור הציר האנכי:

$$ \sum F_x = 0 \quad \Rightarrow \quad T\cos\theta = F_1 $$

$$ \sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad T\sin\theta = F_2 $$

לעיתים קרובות אין צורך במתיחות T עצמה, אלא רק בזווית θ או ביחס בין שני הכוחות F1 ו-F2. הדרך הפשוטה ביותר להיפטר מהנעלם T היא לחלק את שתי המשוואות זו בזו:

$$ \frac{T\sin\theta}{T\cos\theta} = \frac{F_2}{F_1} \quad \Rightarrow \quad \tan\theta = \frac{F_2}{F_1} $$

מכיוון ש-\( \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \), החילוק בין שתי משוואות שיווי המשקל (האנכית והאופקית) מבטל את T, ומשאיר ביטוי הכולל טנגנס של הזווית. זו הסיבה שבפתרונות של מערכות כוחות בזווית (חוט, קיר, גלגלת) הטנגנס מופיע כמעט תמיד - הוא תוצאה ישירה של חלוקת משוואת הציר האנכי במשוואת הציר האופקי.

שיטת פתרון

1. מציירים תרשים כוחות לגוף (או לצומת החוטים), כולל זווית החוט ביחס לאופק.
2. מפרקים כל כוח הפועל בזווית לרכיביו האופקי (\( \cos\theta \)) והאנכי (\( \sin\theta \)).
3. כותבים משוואת שיווי משקל לכל ציר בנפרד.
4. אם השאלה מבקשת את הזווית או יחס בין כוחות (ולא את המתיחות עצמה), מחלקים את משוואת ה-y במשוואת ה-x כדי לקבל ביטוי עם \( \tan\theta \), ובכך נפטרים מהנעלם המשותף T.