נחיתת גשושית על הירח

פתרון - נחיתת גשושית על הירח (בגרות 2020, שאלה 1)

נתון: מסת הגשושית \( m = 164\ \mathrm{kg} \), תאוצת הנפילה החופשית ליד הירח \( g_M = 1.67\ \mathrm{m/s^2} \) (בערך פי 6 קטנה מאשר בכדור הארץ). בזמן \( t = 0 \) הגשושית בגובה \( H \) מעל פני הירח, ובזמן \( t = 12.45\ \mathrm{s} \) היא נוחתת.

מהגרף: מ-\( t = 0 \) עד \( t = 10\ \mathrm{s} \) המהירות משתנה בקו ישר מ-\( -20\ \mathrm{m/s} \) ל-0. המנועים מאטים את הגשושית עד שהיא נעצרת. מ-\( t = 10\ \mathrm{s} \) עד הנחיתה היא בנפילה חופשית.

הכיוון החיובי: הגשושית נעה כלפי מטה, והמהירות שלה בגרף שלילית. לכן בגרף הזה הכיוון החיובי הוא כלפי מעלה. כשיש גרף, הכיוון החיובי כבר נקבע, וצריך לזהות אותו לפני שכותבים משוואות.

הערה על השרטוט: השיפוע בשני הקטעים נראה דומה, אבל אין ביניהם קשר: בקטע הראשון פועלים המנועים, ובשני רק הכבידה.

סעיף א' - הגדרת "נפילה חופשית"

נפילה חופשית היא תנועה של גוף שהכוח היחיד שפועל עליו הוא כוח הכבידה. אין עליו כוחות נוספים, למשל חיכוך עם האוויר או כוח של מנוע.

סעיף ב' - תרשים כוחות מ-t=0 עד t=10s

• המשקל \( m g_M \): כלפי מטה. כדאי לסמן \( g_M \) ולא סתם \( g \), כי זו תאוצת הכבידה של הירח.
• כוח המנועים \( F \): כלפי מעלה. הוא מאט את הגשושית.

כוח המנועים חייב להיות גדול מהמשקל. הגשושית נעה כלפי מטה, וכדי לעצור אותה הכוח השקול חייב להיות כלפי מעלה, נגד המהירות.

אם \( F \) היה שווה למשקל, הכוח השקול היה אפס. לפי החוק הראשון של ניוטון, זה לא אומר שהגוף עומד: זה אומר שהתאוצה אפס, והגשושית הייתה ממשיכה ליפול במהירות קבועה.

אם \( F \) היה קטן מהמשקל, הגשושית הייתה ממשיכה להאיץ כלפי מטה, רק לאט יותר. כמו הורה שמחזיק את היד של ילד שקופץ ממעקה: הוא מקטין את התאוצה, אבל לא עוצר את הנפילה.

דוגמה נוספת: כשקופצים מהשולחן ונוחתים על הרצפה, הרגליים מפעילות כוח גדול מהמשקל, אחרת לא היינו נעצרים.

סעיף ג' - גודל כוח המנועים

התאוצה היא השיפוע של גרף המהירות:

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0 - (-20)}{10} = 2\ \mathrm{m/s^2} $$

התאוצה חיובית, כלומר כלפי מעלה. החוק השני של ניוטון, כשהכיוון החיובי כלפי מעלה:

$$ F - m g_M = m a $$

$$ F = m (g_M + a) = 164 \cdot (1.67 + 2) = 164 \cdot 3.67 \approx 602\ \mathrm{N} $$

רואים מהמשוואה ש-\( F \) גדול מהמשקל (\( m g_M \approx 274\ \mathrm{N} \)), כמו שציפינו.

סעיף ד' - הגובה שבו התאפסה המהירות

מ-\( t = 10\ \mathrm{s} \) ועד הנחיתה הגשושית בנפילה חופשית ממנוחה, במשך \( 12.45 - 10 = 2.45\ \mathrm{s} \).

בדרך כלל מחשבים מרחק משטח המשולש מתחת לגרף. אבל כאן קצה הגרף (המהירות ברגע הנחיתה) לא נופל על קו של הרשת, ולכן אסור לקרוא אותו מהגרף. ניחוש כמו "4" או "4.1" יוריד נקודות.

במקום זה משתמשים במשוואת המקום, עם הנתונים המדויקים: מהירות התחלתית 0, תאוצה \( g_M \), זמן 2.45 שניות.

$$ h_2 = \tfrac12 g_M t^2 = \tfrac12 \cdot 1.67 \cdot 2.45^2 \approx 5.0\ \mathrm{m} $$

הגובה שבו התאפסה המהירות הוא כ-5 מטר.

זה בעצם אותו חישוב כמו שטח המשולש: הרוחב שלו \( t \), והגובה שלו הוא שיפוע כפול רוחב, \( a t \). לכן השטח הוא \( \tfrac12 \cdot at \cdot t \). פשוט את הגובה מחשבים במקום לקרוא אותו מהגרף.

סעיף ה' - הגובה H ברגע t=0

ב-10 השניות הראשונות הגשושית ירדה מרחק ששווה לשטח המשולש הראשון:

$$ h_1 = \frac{10 \cdot 20}{2} = 100\ \mathrm{m} $$

בסוף הקטע הזה הגשושית עוד לא הגיעה לקרקע: היא נעצרה בגובה של כ-5 מטר ומשם נפלה. לכן:

$$ H = h_1 + h_2 = 100 + 5.0 = 105\ \mathrm{m} $$

סעיף ו' - הגרף הנכון של הגובה כפונקציה של הזמן

המהירות היא השיפוע של גרף המקום. לכן בודקים את השיפוע של כל אחד מהגרפים בשלושה רגעים:

• ב-t=0: המהירות 20 m/s. השיפוע צריך להיות תלול, לא אפס.
• ב-t=10s: המהירות אפס. השיפוע צריך להיות אפס (משיק אופקי). זה גם הרגע שבו הגרף עובר מכיפוף לצד אחד לכיפוף לצד השני: לפני כן הגשושית מאטה, ואחרי כן היא מאיצה.
• ב-t=12.45s: הגשושית פוגעת בקרקע במהירות שאינה אפס. השיפוע לא אפס.

בגרפים 3 ו-4 לא רואים שום שינוי בכיפוף ב-t=10s, ולכן הם נפסלים.

גרף 1 נפסל כי הוא מתחיל בשיפוע אפס (בלי מהירות), ב-t=10s השיפוע שלו לא אפס, והוא מסתיים בשיפוע אפס.

התשובה: גרף 2. כל שלושת התנאים מתקיימים בו.