תנע הוא גודל פיזיקלי המוגדר כמכפלת המסה של גוף במהירותו:
$$ \vec{p} = m\vec{v} $$
חוק שימור התנע קובע שכאשר אין כוחות חיצוניים הפועלים על מערכת גופים סגורה, סכום התנע הכולל של המערכת נשמר - כלומר זהה לפני ואחרי אירוע כמו התנגשות, פיצוץ או ירי.
מתי משתמשים בחוק שימור התנע?
נשתמש בחוק שימור התנע בתרגילים שבהם ישנה התנגשות בין שני גופים (או יותר), כאשר הגופים משנים את מהירותם. חשוב לשים לב: החוק נותן לנו משוואה אחת עם שני נעלמים, ולכן נצטרך תמיד להשתמש במשוואה נוספת - לרוב משוואת ההתנגשות הפלסטית או משוואת ההתנגשות האלסטית, בהתאם לנתוני השאלה.
הנוסחה
$$ m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2 $$
צד שמאל - סכום מכפלות המסה במהירות של כל הגופים לפני ההתנגשות. צד ימין - סכום מכפלות המסה במהירות של כל הגופים אחרי ההתנגשות. במילים אחרות, התנע שגוף אחד מרוויח שווה בדיוק לתנע שהגוף השני מפסיד.
היתרון של חוק שימור התנע
היתרון הגדול של החוק הוא שהוא מאפשר להזניח כוחות רגעיים. לדוגמה, גם אם ההתנגשות מתרחשת על משטח מחוספס, נוכל להזניח את השפעת כוח החיכוך על התנע - וזאת מכיוון שההתנגשות נחשבת רגעית (זמן קצר מאוד). ההזנחה הזו היא מה שהופך את חוק שימור התנע לשימושי כל כך בפתרון תרגילים.
סוגי התנגשויות
התנגשות אלסטית - נשמרים גם התנע וגם האנרגיה הקינטית.
התנגשות פלסטית - נשמר רק התנע, וחלק מהאנרגיה הקינטית אובד (לרוב הופך לחום).
התנגשות אי-אלסטית - כל התנגשות שאינה אלסטית (האנרגיה הקינטית אינה נשמרת), אך הגופים אינם נצמדים בהכרח זה לזה. גם כאן נשמר רק התנע.
דוגמה חישובית
עגלה אחת (מסה 2 ק"ג) נעה במהירות 4 מ"ש ימינה, ועגלה שנייה (מסה 3 ק"ג) עומדת במנוחה. מהי מהירות שתי העגלות לאחר ההתנגשות, אם הן נצמדות זו לזו?
$$ m_1 = 2,\ v_1 = 4,\ m_2 = 3,\ v_2 = 0 $$
לפי שימור התנע:
$$ (m_1+m_2)u = m_1v_1+m_2v_2 $$
$$ (2+3)u = 2\cdot4 + 3\cdot0 = 8 $$
$$ u = 8/5 = 1.6 $$
מהירות שתי העגלות לאחר ההתנגשות: 1.6 מ"ש ימינה.
לסיכום
חוק שימור התנע מאפשר לחשב את תוצאות ההתנגשות (או הפיצוץ) בכל מצב שבו ניתן להזניח כוחות חיצוניים. ההבנה של עקרון זה מהווה בסיס חשוב לפתרון בעיות תנועה רבות בפיזיקה, ומשמשת גם כבסיס לנושאים הבאים כמו התנגשות פלסטית, התנגשות אלסטית ורתע.
מתקף ותנע
חוק שימור התנע
מה קורה כשגוף מעביר מהירות לגוף אחר? נפתח את חוק שימור התנע, נבין למה הוא עובד גם כשיש חיכוך, ונפתור שתי דוגמאות של רתיעה.
פגיעה ורתיעהפעולה ותגובהתנעשתי משוואות
רעיון
מתי משתמשים בשימור תנע?
מההתחלההצג פתרון
התנע (מלשון תנועה) מתאר מה קורה כשגוף מעביר מהירות לגוף אחר: בפגיעה או ברתיעה.
דוגמאות: עגלה פוגעת בעגלה, כדור ביליארד בכדור ביליארד, רכב ברכב. מסמנים \(v\) לפני הפגיעה ו-\(u\) אחרי.
לא מתאים: אבן פוגעת באדמה. לא נשאל מה המהירות של האדמה, ולכן שימור תנע לא יעזור.
משתמשים בשימור תנע כשמעניינות אותנו המהירויות של שני הגופים, לפני ואחרי.
הפיתוח
מה קורה בזמן הפגיעה?
מההתחלההצג פתרון
בזמן הפגיעה פועל בין הגופים כוח \(F\). אנחנו לא יודעים כמה הוא, ולא כמה זמן \(t\) הוא פעל.
1. לפי חוק פעולה ותגובה, על שני הגופים פועל אותו כוח, בכיוונים הפוכים. התאוצות:\(a_1=\frac{F}{m_1},\quad a_2=-\frac{F}{m_2}\)
2. נניח לרגע שהכוח קבוע ונשתמש בקינמטיקה. המהירויות אחרי הפגיעה:\(u_1=v_1+\frac{F}{m_1}t,\quad u_2=v_2-\frac{F}{m_2}t\)
שימו לב: שתי משוואות, אבל ארבעה נעלמים: \(u_1,u_2,F,t\). צריך להיפטר מ-\(F\) ומ-\(t\).
הפיתוח
הכוח והזמן נעלמים
מההתחלההצג פתרון
1. כופלים את המשוואה הראשונה ב-\(m_1\) ואת השנייה ב-\(m_2\):\(m_1u_1=m_1v_1+Ft,\quad m_2u_2=m_2v_2-Ft\)
מחברים את המשוואות: \(Ft\) מתבטל!\(m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\)
שימו לב: גם אם הכוח לא קבוע, מקבלים את אותה תוצאה. ואם יש יותר גופים, פשוט מוסיפים \(m_3v_3\) וכן הלאה.
תנע
מה זה תנע?
מההתחלההצג פתרון
1. למכפלה של מסה ומהירות קוראים תנע, ומסמנים אותו באות \(p\). יחידות: \(\text{kg}\cdot\text{m/s}\).\(p=mv\)
2. לתנע יש כיוון, כמו למהירות. זה גודל מתמטי: אין מכשיר שמודד אותו, אבל בעזרתו מחשבים מהירויות.
חוק שימור התנע: סך התנע של כל הגופים לפני הפגיעה שווה לסך התנע אחרי.
היתרון
למה זה עובד גם עם חיכוך?
מההתחלההצג פתרון
פגיעה היא תמיד כוח מאוד חזק שפועל זמן מאוד קצר. רכב שפוגע בעץ ב-100 קמ"ש נעצר כמעט בבת אחת.
1. לעומת כוח הפגיעה, חיכוך, כובד ומתיחות זניחים. בזמן הקצר של הפגיעה הם כמעט לא משנים את המהירות.
2. לכן כשרכב פוגע ברכב חונה, לא משנה אם בלם היד מורם או לא.
שימור תנע מתקיים בכל פגיעה ורתיעה, גם אם יש חיכוך.
שימו לב: שימור אנרגיה הוא חוק "מפונק": במציאות כמעט תמיד יש חיכוך. שימור תנע עובד מצוין גם במציאות. החיכוך משפיע רק על מה שקורה אחרי הפגיעה.
דוגמה 1
רתיעה ממנוחה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: בין מסות \(m_1=1\ \text{kg}\) ו-\(m_2=2\ \text{kg}\) במנוחה יש קפיץ דרוך עם אנרגיה \(5\ \text{J}\). משחררים. מה המהירויות?
1. שני נעלמים, \(u_1\) ו-\(u_2\). משוואה ראשונה: תנע. לפני הכל במנוחה:\(m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\)\(0=1\cdot u_1+2u_2\ \Rightarrow\ u_1=-2u_2\)
שימו לב: השורש נותן רק גודל, כי באנרגיה אין כיוון. את הכיוונים מבינים מההיגיון: המסות נעות לצדדים מנוגדים.
דוגמה 2
רתיעה בתנועה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: אותן מסות ואותו קפיץ \((5\ \text{J})\), אבל עכשיו כל המערכת נעה יחד ב-\(8\ \text{m/s}\) ימינה, ומסה 2 מלפנים. משחררים את הקפיץ.
1. תנע: לפני, שתי המסות ב-8:\((m_1+m_2)v=m_1u_1+m_2u_2\)\((1+2)\cdot8=1\cdot u_1+2u_2\ \Rightarrow\ u_1=24-2u_2\)
2. אנרגיה: האנרגיה הקינטית לפני, ועוד מה שהקפיץ נתן:\(\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)v^2+E_{spring}=\tfrac{1}{2}m_1u_1^2+\tfrac{1}{2}m_2u_2^2\)\(\tfrac{1}{2}\cdot3\cdot8^2+5=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot u_1^2+\tfrac{1}{2}\cdot2u_2^2\)
3. שתי משוואות, שני נעלמים. מחשבים: \(96+5=101\). מציבים \(u_1=24-2u_2\) ומסדרים:\(101=\tfrac{1}{2}u_1^2+u_2^2\)\(101=\tfrac{1}{2}(24-2u_2)^2+u_2^2\)\(3u_2^2-48u_2+187=0\)
4. המסה הקדמית נדחפת קדימה, ולכן לוקחים את הפתרון הגדול מ-8:\(u_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(u_2=\frac{48+\sqrt{48^2-4\cdot3\cdot187}}{2\cdot3}=\frac{48+\sqrt{60}}{6}\approx9.3\ \text{m/s}\)
