שתי עגלות מוחזקות במנוחה על מסילה חלקה, כשביניהן קפיץ מכווץ (הנוגע בשתיהן אך אינו מחובר אליהן). כאשר משחררים את העגלות, הקפיץ דוחף אותן זו מזו, עד שהן מתנתקות ממנו וממשיכות לנוע בנפרד.
שלב 1 - שימור תנע (המצב ההתחלתי היה במנוחה)
מכיוון ששתי העגלות היו במנוחה לפני השחרור, התנע הכולל של המערכת (עגלות + קפיץ) היה אפס. אין כוחות חיצוניים אופקיים הפועלים על המערכת (המסילה חלקה), ולכן התנע הכולל נשמר - נשאר אפס גם לאחר ההתנתקות מהקפיץ:
$$ 0 = m_1v_1 + m_2v_2 $$
מכאן נובע שהעגלות נעות בכיוונים מנוגדים, כאשר היחס בין גדלי מהירויותיהן שווה בדיוק ליחס ההפוך בין מסותיהן:
$$ \frac{v_2}{v_1} = \frac{m_1}{m_2} $$
שלב 2 - שימור אנרגיה מכנית
לאורך כל התהליך (מהמצב ההתחלתי ועד ההתנתקות מהקפיץ) אין חיכוך, ולכן האנרגיה המכנית הכוללת נשמרת. כל האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית שהייתה אגורה בקפיץ הדחוס הופכת לאנרגיה קינטית של שתי העגלות:
התנע הכולל של שתי העגלות - נשמר (נשאר אפס) לכל אורך התהליך, כולל אחרי ההתנתקות מהקפיץ.
האנרגיה המכנית הכוללת (קינטית + אלסטית) - נשמרת כל עוד הקפיץ עדיין במגע עם העגלות. לאחר ההתנתקות, כשאין עוד אנרגיה אלסטית, האנרגיה הקינטית הכוללת של שתי העגלות נשארת קבועה (אין עוד המרה בין סוגי אנרגיה).
האנרגיה הקינטית של כל עגלה בנפרד - אינה נשמרת במהלך הדחיפה עצמה (היא גדלה מאפס), אך לאחר ההתנתקות מהקפיץ, כשאין עוד כוחות פועלים, האנרגיה הקינטית של כל עגלה נשארת קבועה בנפרד.
התנע של עגלה בודדת - אינו נשמר לאורך הדחיפה (משתנה מאפס לערך סופי), אך לאחר ההתנתקות מהקפיץ נשאר קבוע (אין עוד כוחות אופקיים הפועלים על העגלה הבודדת).
הוספת משקולת לאחת העגלות - שינוי היחס
אם מוסיפים משקולת לאחת העגלות (מגדילים את מסתה) ומחזירים את המערכת לאותו מצב התחלתי (אותו כיווץ קפיץ, כלומר אותה אנרגיה אלסטית אגורה), התנע הכולל עדיין יישאר אפס, אך היחס בין המהירויות ישתנה בהתאם ליחס המסות החדש - העגלה הכבדה יותר תנוע לאט יותר. יש לפתור מחדש את שתי משוואות השימור (תנע ואנרגיה) עם המסה החדשה, כדי למצוא את המהירויות המדויקות.
שיטת פתרון
כתבו את משוואת שימור התנע (סכום אפס, כיוונים מנוגדים).
כתבו את משוואת שימור האנרגיה (אנרגיה אלסטית הופכת לקינטית).
מתוך משוואת התנע, בטאו מהירות אחת באמצעות השנייה (למשל \( v_1 = \frac{m_2}{m_1}v_2 \)), והציבו במשוואת האנרגיה.
פתרו את המשוואה המתקבלת (בנעלם יחיד) כדי למצוא את שתי המהירויות.
בגרות 2004
קפיץ ושתי עגלות
קפיץ מכווץ דוחף שתי עגלות לצדדים. נבדוק אילו גדלים נשמרים, נחשב מהירויות ואנרגיה, ונראה מה משתנה כשעגלה אחת כבדה יותר.
שימור תנעשימור אנרגיהאנרגיית קפיץיחס מסות
הנתונים
קפיץ בין שתי עגלות
מההתחלההצג פתרון
שאלה: שתי עגלות, כל אחת במסה \(M=2\ \text{kg}\), מוחזקות במנוחה על מסילה אופקית. ביניהן קפיץ מכווץ שנוגע בעגלות אך אינו מחובר אליהן. משחררים. מה קורה?
1. לעגלות יש גלגלים: המסילה חסרת חיכוך.
2. הקפיץ חסר מסה, ולא מחובר לעגלות. לכן לא נתייחס אליו בחישובי התנע.
הקפיץ משתחרר ודוחף את העגלות לצדדים מנוגדים, עד שהן מתנתקות ממנו.
רעיון
מה זה "נשמר"?
מההתחלההצג פתרון
במכניקה יש שלושה גדלים שנשמרים: אנרגיה, תנע, ותנע זוויתי (שלא נלמד). אנחנו עובדים עם שני הראשונים.
נשמר פירושו: יש מצב התחלתי ומצב סופי, משהו השתנה ביניהם, אבל הגודל הזה לא השתנה.
לכן אפשר לכתוב משוואה: הגודל לפני שווה לגודל אחרי.
סעיף א · אנרגיה
מה נשמר עד ההתנתקות?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: אילו מהגדלים נשמרים מהמצב ההתחלתי עד שהעגלות לא נוגעות בקפיץ? נתחיל מארבעת גדלי האנרגיה.
i. האנרגיה האלסטית של הקפיץ: לא נשמרת. הקפיץ היה מכווץ ואז השתחרר, ואין לו יותר אנרגיה.
ii. האנרגיה הקינטית של עגלה 1: לא נשמרת. בהתחלה 0, ובסוף לא 0.
iii. האנרגיה הקינטית הכוללת של שתי העגלות: לא נשמרת. בהתחלה 0, ובסוף לא 0.
iv. האנרגיה המכנית הכוללת (עגלות וקפיץ): נשמרת. מה שהקפיץ הפסיד, העגלות הרוויחו. אין חיכוך, ולכן אין לאן לאבד אנרגיה.
סעיף א · תנע
מה נשמר עד ההתנתקות?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: ועכשיו שני גדלי התנע: התנע הכולל של שתי העגלות, והתנע של עגלה 2.
v. התנע הכולל: נשמר. לפני השחרור הוא 0, ואחרי השחרור:\(0=Mu_1+Mu_2\)
למה? אין כוח חיצוני על המערכת: אין חיכוך, והקפיץ חסר מסה. בכל פגיעה ורתיעה בין גופים התנע הכולל נשמר.
vi. התנע של עגלה 2: לא נשמר. בהתחלה 0, ובסוף לא 0. מה שעגלה 1 קיבלה בכיוון אחד, עגלה 2 קיבלה בכיוון השני.
הגדלים שנשמרים: iv (האנרגיה המכנית הכוללת) ו-v (התנע הכולל).
שימו לב: לתנע יש כיוון, ולאנרגיה אין: באנרגיה המהירות בריבוע.
סעיף ב
מהירות עגלה 2
מההתחלההצג פתרון
שאלה: נמדד שגודל מהירות עגלה 1 אחרי ההתנתקות הוא \(u_1=0.2\ \text{m/s}\). מהו גודל מהירות עגלה 2?
1. שימור תנע: התנע לפני היה 0.\(0=Mu_1+Mu_2\ \Rightarrow\ u_2=-u_1\)
המסות שוות, ולכן גם גדלי המהירויות שווים:\(|u_2|=0.2\ \text{m/s}\)
שימו לב: הסימן מינוס אומר שעגלה 2 נעה בכיוון ההפוך. שאלו על גודל, ולכן התשובה 0.2.
סעיף ג
האנרגיה הקינטית הכוללת
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חשבו את האנרגיה הקינטית הכוללת של העגלות אחרי ההתנתקות.
1. לכל עגלה אותה מסה ואותו גודל מהירות, ולכן אותה אנרגיה. מכפילים ב-2:\(E_k=2\cdot\tfrac{1}{2}Mu^2=Mu^2\)
שימו לב: מאיפה האנרגיה? לפי שימור אנרגיה, זו בדיוק האנרגיה שהייתה אגורה בקפיץ המכווץ.
סעיף ד
מוסיפים משקולת לעגלה 2
מההתחלההצג פתרון
שאלה: מחזירים למצב ההתחלתי (אותו כיווץ של הקפיץ), אבל מוסיפים לעגלה 2 משקולת של \(1\ \text{kg}\). חשבו את היחס בין גודל מהירות עגלה 2 לגודל מהירות עגלה 1.
1. עכשיו \(m_1=2\ \text{kg}\) ו-\(m_2=3\ \text{kg}\). שוב שימור תנע מאפס:\(0=m_1u_1+m_2u_2\)
2. מעבירים אגף ומחלקים:\(\frac{|u_2|}{|u_1|}=\frac{m_1}{m_2}\)
היחס:\(\frac{|u_2|}{|u_1|}=\frac{2}{3}\)
שימו לב: העגלה הכבדה נעה לאט יותר. כמו כשדוחפים מישהו: ככל שהוא כבד יותר, הוא זז לאט יותר ואתם נרתעים מהר יותר.
סעיף ה
מהירות עגלה 2
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חשבו את גודל מהירות עגלה 2 אחרי ההתנתקות (עם המשקולת).
1. משוואת התנע נותנת רק יחס בין המהירויות: משוואה אחת עם שני נעלמים. צריך עוד משוואה, ולכן משתמשים באנרגיה.
2. אותו קפיץ ואותו כיווץ, ולכן אותה אנרגיה בקפיץ: \(E=\tfrac{1}{2}kx^2\) לא תלויה במסות. מסעיף ג:\(E=0.08\ \text{J}\)
3. שימור אנרגיה, עם המסות החדשות:\(0.08=\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot u_1^2+\tfrac{1}{2}\cdot3\cdot u_2^2\)
