תרגיל – מסות נרתעות מקפיץ בתנועה

מכניקה מהו תנע תרגיל – מסות נרתעות מקפיץ בתנועה

בתהליך

התרגיל

שתי עגלות, \(m_1=3\ \text{kg}\) מאחור ו-\(m_2=1\ \text{kg}\) מלפנים, נוסעות יחד ימינה במהירות \(4\ \text{m/s}\) על משטח אופקי חלק. ביניהן קפיץ דחוס שאגורה בו אנרגיה של \(24\ \text{J}\). משחררים את הקפיץ.

א. מה מהירות כל עגלה אחרי השחרור?

ב. כשהעגלות היו במנוחה, אותו קפיץ נתן להן \(2\ \text{m/s}\) שמאלה ו-\(6\ \text{m/s}\) ימינה. מה הקשר לתוצאה של סעיף א?

ג. כמה אנרגיה צריך לאגור בקפיץ כדי שהעגלה האחורית תיעצר?

תרגיל

מסות נרתעות מקפיץ בתנועה

אותן עגלות ואותו קפיץ, אבל עכשיו כל המערכת כבר נוסעת. נמצא את המהירויות אחרי השחרור, נגלה קשר מפתיע למקרה של מנוחה, ונחשב איזה קפיץ יעצור את העגלה האחורית.

רתע בתנועהמשוואה ריבועיתבחירת פתרוןקפיץ חזק יותר

הנתונים

התרגיל

מההתחלההצג פתרון

שאלה: שתי עגלות, \(m_1=3\ \text{kg}\) מאחור ו-\(m_2=1\ \text{kg}\) מלפנים, נוסעות יחד ימינה במהירות \(4\ \text{m/s}\) על משטח אופקי חלק. ביניהן קפיץ דחוס שאגורה בו אנרגיה \(24\ \text{J}\). משחררים את הקפיץ.

א. מה מהירות כל עגלה אחרי השחרור?

ב. כשהעגלות היו במנוחה, אותו קפיץ נתן להן \(2\ \text{m/s}\) שמאלה ו-\(6\ \text{m/s}\) ימינה. מה הקשר לתוצאה של סעיף א?

ג. כמה אנרגיה צריך לאגור בקפיץ כדי שהעגלה האחורית תיעצר?

סעיף א

מהירויות העגלות

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מה מהירות כל עגלה אחרי השחרור?

1. תנע. לפני, שתי העגלות ב-4 ימינה:\((3+1)\cdot4=3u_1+u_2\ \Rightarrow\ u_2=16-3u_1\)

2. אנרגיה. האנרגיה הקינטית לפני, \(\tfrac{1}{2}\cdot4\cdot4^2=32\), ועוד 24 של הקפיץ. כופלים ב-2:\(112=3u_1^2+u_2^2\)

מציבים \(u_2=16-3u_1\) ופותחים סוגריים:\(112=3u_1^2+256-96u_1+9u_1^2\)

סעיף א

פתרון המשוואה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: ממשיכים מהמשוואה \(112=3u_1^2+256-96u_1+9u_1^2\).

1. מסדרים ומחלקים ב-12:\(u_1^2-8u_1+12=0\ \Rightarrow\ u_1=2\ \text{or}\ 6\)

2. בוחרים: הקפיץ דוחף את העגלה האחורית אחורה, ולכן היא מאטה מתחת ל-4:\(u_1=2\ \text{m/s}\)

ומ-\(u_2=16-3u_1\):\(u_1=2\ \text{m/s},\quad u_2=16-3\cdot2=10\ \text{m/s}\)

שימו לב: הפתרון השני, \(u_1=6\), מתאים למצב שבו העגלה הכבדה מלפנים. שתי העגלות עדיין נוסעות ימינה.

סעיף ב

הקשר למקרה של מנוחה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: במנוחה: \(u_1=-2\), \(u_2=6\). בתנועה: \(u_1=2\), \(u_2=10\). מה הקשר?

1. העגלה הכבדה:\(2=4+(-2)\)

2. העגלה הקלה:\(10=4+6\)

כל מהירות שווה למהירות מהמקרה של מנוחה, ועוד 4. הקפיץ משנה את המהירויות באותה מידה, בין אם המערכת עומדת ובין אם היא נוסעת.

שימו לב: כמו נוסע ברכבת שמסתכל על העגלות: מבחינתו הן עומדות ונרתעות ב-2 וב-6. מי שעומד ליד הפסים רואה את אותו דבר, ועוד 4.

סעיף ג

מתי העגלה האחורית נעצרת?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: כמה אנרגיה צריך לאגור בקפיץ כדי שהעגלה האחורית תיעצר?

1. העגלה האחורית נעצרת, \(u_1=0\). תנע:\(16=3\cdot0+u_2\ \Rightarrow\ u_2=16\ \text{m/s}\)

2. האנרגיה הקינטית אחרי:\(\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot16^2=128\ \text{J}\)

3. אנרגיה: 32 לפני, ועוד אנרגיית הקפיץ, שווה ל-128 אחרי:\(32+E=128\)

אנרגיית הקפיץ:\(E=96\ \text{J}\)

שימו לב: פי 4 אנרגיה בקפיץ נותנת שינוי מהירות כפול: \(-4\) ו-\(+12\) במקום \(-2\) ו-\(+6\).

סיכום

מה למדנו מהשאלה

תנע\(16=3u_1+u_2\)

מהירויות\(2,\ 10\ \text{m/s}\)

בחירת פתרוןהאחורית מאטה

קשר למנוחה\(u=u_{rest}+4\)

עצירת האחורית96 J

טעויות נפוצות

לשכוח את האנרגיה הקינטית שהייתה לפני. הקפיץ מוסיף 24 על ה-32 שכבר היו.

לבחור פתרון ריבועי בלי לבדוק. העגלה האחורית חייבת להאט.

לחשוב שהקפיץ נותן את אותן מהירויות כמו במנוחה. הוא נותן את אותו שינוי מהירות.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←