חיתוך ישר ופרבולה

מפגש בין שני גופים

בגרף מיקום-זמן, גוף שנע במהירות קבועה מתואר על ידי קו ישר:

וגוף שנע בתאוצה קבועה מתואר על ידי פרבולה:

$$ x_1(t) = x_{01} + v_{01}\,t + \tfrac{1}{2} a t^2 $$

כששני הגרפים משורטטים על אותה מערכת צירים, נקודת חיתוך פירושה ששני הגופים נמצאים באותו מקום באותו רגע, כלומר הם נפגשים. קריאת הזמן של נקודת החיתוך נותנת את רגע המפגש, וקריאת המיקום נותנת את מקום המפגש.

משוואת המפגש

כדי למצוא את רגע המפגש בלי גרף, משווים את המיקומים:

$$ x_{01} + v_{01}\,t + \tfrac{1}{2} a t^2 = x_{02} + v\,t $$

ומעבירים הכול לצד אחד. מקבלים משוואה ריבועית בזמן:

$$ \tfrac{1}{2} a\, t^2 + (v_{01} - v)\, t + (x_{01} - x_{02}) = 0 $$

מספר הפתרונות של המשוואה קובע את מספר המפגשים. הוא נקבע לפי הדיסקרימיננטה:

• \( \Delta \gt 0 \): שתי נקודות חיתוך. הגופים נפגשים פעמיים. במפגש הראשון אחד הגופים עוקף את השני, ובמפגש השני השני עוקף אותו בחזרה.
• : נקודת חיתוך אחת (השקה). הקו הישר משיק לפרבולה. הגופים נפגשים לרגע אחד בלבד, ובאותו רגע המהירויות שלהם שוות, כי שיפוע הקו שווה לשיפוע הפרבולה בנקודת ההשקה.
• \( \Delta \lt 0 \): אין נקודות חיתוך. הגופים לא נפגשים. המרחק ביניהם הכי קטן ברגע שבו המהירויות שלהם שוות.

שני דגשים

• רק זמנים חיוביים. התנועה מתחילה ב-. פתרון שלילי של המשוואה הוא נקודת חיתוך של המשך הגרפים לעבר, ואין לו משמעות פיזיקלית.
• מהירויות שוות = שיפועים שווים. בגרף מיקום-זמן השיפוע הוא המהירות. לכן הרגע שבו המהירויות שוות הוא הרגע שבו המשיק לפרבולה מקביל לקו הישר. זה הרגע של המרחק המקסימלי או המינימלי בין הגופים.

הדגמה

בגרף שלמטה אפשר לשנות את הפרמטרים של שני הגופים ולראות איך משתנה מספר נקודות החיתוך. הכפתורים בתחתית ההדגמה טוענים את שלושת המצבים מהשאלה לדוגמה.

שאלה לדוגמה: מכונית ורוכב אופניים

מכונית עומדת ברמזור אדום. ברגע שהאור מתחלף לירוק (), המכונית מתחילה לנסוע מתוך מנוחה בתאוצה קבועה של . באותו רגע עובר רוכב אופניים, שנוסע במהירות קבועה v באותו כיוון, בנקודה שנמצאת 16 מטר מאחורי המכונית.

ראשית הצירים נמצאת במקום של רוכב האופניים ברגע , והכיוון החיובי הוא כיוון הנסיעה.

א. כתבו את משוואות המיקום של המכונית ושל רוכב האופניים.

ב. מהירות הרוכב היא 10 m/s. מתי ובאיזה מקום הרוכב והמכונית נפגשים? תארו מה קורה בכל מפגש.

ג. מהירות הרוכב היא 8 m/s. הראו שהרוכב והמכונית נפגשים פעם אחת בלבד. מה מיוחד ברגע המפגש?

ד. מהירות הרוכב היא 6 m/s. הראו שהרוכב לא מגיע למכונית. מהו המרחק הקטן ביותר ביניהם, ומתי הוא מתקבל?

ה. מהי המהירות המינימלית שבה הרוכב עוד מגיע למכונית?

פתרון

א. משוואות המיקום

המכונית מתחילה ב-16 מטר, ממנוחה, בתאוצה 2:

$$ x_{car}(t) = 16 + \tfrac{1}{2} \cdot 2\, t^2 = 16 + t^2 $$

הרוכב מתחיל בראשית ונע במהירות קבועה:

במפגש המיקומים שווים:

$$ 16 + t^2 = v\,t \quad\Longrightarrow\quad t^2 - v\,t + 16 = 0 $$

הדיסקרימיננטה של המשוואה היא:

ב. v = 10 m/s: שני מפגשים

$$ t^2 - 10t + 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (t-2)(t-8) = 0 $$

מקומות המפגש:

מהירות המכונית היא .

• במפגש הראשון () מהירות המכונית היא , קטנה ממהירות הרוכב. לכן הרוכב עוקף את המכונית.
• במפגש השני () מהירות המכונית היא , גדולה ממהירות הרוכב. לכן המכונית עוקפת את הרוכב ומתרחקת ממנו.

בגרף: הקו הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות. בין שתי נקודות החיתוך הקו נמצא מעל הפרבולה, כלומר הרוכב לפני המכונית.

ג. v = 8 m/s: מפגש אחד

$$ t^2 - 8t + 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (t-4)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 4\ \mathrm{s} $$

יש פתרון אחד בלבד (). מקום המפגש:

ברגע המפגש מהירות המכונית היא:

זו בדיוק מהירות הרוכב. הרוכב מגיע עד המכונית, נוגע בה לרגע ולא מצליח לעקוף אותה, ומאותו רגע המכונית מהירה יותר ומתרחקת. בגרף הקו הישר משיק לפרבולה.

ד. v = 6 m/s: אין מפגש

$$ t^2 - 6t + 16 = 0, \qquad \Delta = 36 - 64 = -28 \lt 0 $$

למשוואה אין פתרון, ולכן הרוכב לא מגיע למכונית. בגרף הקו הישר נמצא כל הזמן מתחת לפרבולה.

המרחק בין המכונית לרוכב:

המרחק מינימלי כאשר :

ברגע הזה מהירות המכונית היא , שווה למהירות הרוכב. עד הרגע הזה הרוכב מהיר יותר ומתקרב, ואחריו המכונית מהירה יותר ומתרחקת.

ה. המהירות המינימלית

הרוכב מגיע למכונית אם למשוואת המפגש יש פתרון, כלומר אם הדיסקרימיננטה אינה שלילית:

$$ v^2 - 64 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad v \ge 8\ \mathrm{m/s} $$

המהירות המינימלית היא : זה המצב של סעיף ג, שבו הקו הישר משיק לפרבולה.