שחיין בנהר

שחיין חוצה נהר ברוחב \( d=10\ \mathrm{km} \). מהירות השחייה שלו \( v_s=5\ \mathrm{km/h} \), והנהר זורם בניצב לכיוון החצייה במהירות \( v_r=2\ \mathrm{km/h} \). השחיין רוצה להגיע לגדה השנייה כמה שיותר מהר.

א. זמן החצייה בלי זרם

השחיין שוחה ישר לנקודה B שמולו:

$$ t=\frac{d}{v_s}=\frac{10}{5}=2\ \mathrm{h} $$

ב. זמן החצייה עם זרם

הזרם ניצב לכיוון החצייה. אין לו רכיב לכיוון הגדה השנייה, ולכן הוא לא עוזר ולא מפריע לחצייה. גדלים שניצבים זה לזה לא משפיעים זה על זה, ולכן זמן החצייה לא משתנה:

$$ t=\frac{d}{v_s}=\frac{10}{5}=2\ \mathrm{h} $$

ג. הסחיפה

כל הזמן שהשחיין במים, הזרם סוחף אותו:

$$ y=v_r\cdot t=2\cdot2=4\ \mathrm{km} $$

השחיין יוצא מהמים בנקודה C, שנמצאת 4 km מעל הנקודה B שמולו.

ד. המרחק מנקודת היציאה

10 km לרוחב הנהר ו-4 km סחיפה יוצרים משולש ישר זווית. לפי משפט פיתגורס:

$$ AC=\sqrt{10^2+4^2}=\sqrt{116}\approx10.8\ \mathrm{km} $$

ה. זווית התנועה

הזווית α בין הקו AC לבין הכיוון ישר לגדה שממול:

$$ \cos\alpha=\frac{10}{10.8}\approx0.93\quad\Rightarrow\quad\alpha=\cos^{-1}(0.93)\approx21.8^\circ $$

הסימון \( \cos^{-1} \) אינו חזקה. זו הפעולה ההפוכה לקוסינוס: מכירים את הקוסינוס ומחפשים את הזווית. במחשבון לוחצים SHIFT ואז cos.

ו. להגיע בדיוק לנקודה שממול

כדי לא להיסחף, השחיין צריך לכוון חלק מהמהירות שלו נגד הזרם. זו לא אותה זווית α לצד השני. למשל, אם השחיין והזרם שניהם 5 km/h: כששוחים ישר נעים בזווית 45°, אבל כדי להגיע מול צריך להשקיע את כל ה-5 בהתנגדות לזרם, ולא נשאר כלום להתקדמות. לכן אפשר להגיע בדיוק מול רק אם \( v_s>v_r \).

שאלת בית: באיזו זווית לשחות כדי להגיע מול?

הרכיב של מהירות השחיין נגד הזרם צריך לבטל את הזרם:

$$ 5\sin\beta=2\quad\Rightarrow\quad\sin\beta=0.4\quad\Rightarrow\quad\beta=\sin^{-1}(0.4)\approx23.6^\circ $$

הרכיב שנשאר לחצייה, לפי משפט פיתגורס:

$$ v_x=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}\approx4.58\ \mathrm{km/h} $$

זמן החצייה:

$$ t=\frac{10}{4.58}\approx2.18\ \mathrm{h} $$