בגרות – מכונת אטווד
פתרון: בגרות קיץ תשע"ו 2016, מכניקה (שאלון 036201+656), שאלה 2
מכונת אטווד: שני סלים A ו-B תלויים משני צידי גלגלת, והסל A (הכבד יותר) נמצא בגובה h מעל הרצפה.
א. למה התאוצה קבועה (לפי חוקי ניוטון)
על כל סל פועלים רק שני כוחות: המשקל (קבוע) ומתיחות החוט. החוט והגלגלת חסרי מסה ואין חיכוך, ולכן המתיחות זהה לאורך כל החוט ואינה משתנה במהלך התנועה. מכיוון שהכוחות קבועים, גם הכוח השקול על כל סל קבוע, ולפי החוק השני של ניוטון \( a = \Sigma F / m \) גם התאוצה קבועה.
ב. איך חושבה התאוצה
הסל A יוצא ממנוחה ונע בתאוצה קבועה מרחק h בזמן t:
$$ h = \tfrac{1}{2} a t^2 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2h}{t^2} $$
למשל במדידה הראשונה:
$$ a = \frac{2 \cdot 0.5}{1.01^2} \approx 0.98\ \mathrm{m/s^2} $$
ג. האם הטבלה מאששת שהתאוצה קבועה
כן. הסל שוחרר מגבהים שונים, והתאוצה שחושבה יצאה כמעט זהה בכל המדידות (0.98, 1.02, 1.01). ההבדלים הקטנים הם בגבולות שגיאת המדידה (למשל בזמן התגובה של מי שמפעיל את שעון העצר). אילו התאוצה הייתה משתנה במהלך התנועה, החישוב \( a = 2h/t^2 \) היה נותן ערכים שונים לגבהים שונים.
ד. תרשימי כוחות
- סל A: המשקל \( m_A g \) כלפי מטה, ומתיחות החוט \( T \) כלפי מעלה.
- סל B: המשקל \( m_B g \) כלפי מטה, ומתיחות החוט \( T \) כלפי מעלה.
ה. משוואה בין התאוצה להפרש המסות
משוואות סל A בצבע כחול, ומשוואות סל B בצבע כתום. כיוון חיובי: A כלפי מטה ו-B כלפי מעלה.
$$ {\color[RGB]{31,111,178}{m_A g - T = m_A a}} $$
$$ {\color[RGB]{232,130,58}{T - m_B g = m_B a}} $$
מחברים את שתי המשוואות:
$$ (m_A - m_B) g = (m_A + m_B) a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{g}{m_A + m_B}\,(m_A - m_B) $$
בניסוי 2 המסה הכוללת \( M = m_A + m_B \) קבועה, ולכן התאוצה עומדת ביחס ישר להפרש המסות: הגרף הוא קו ישר שעובר בראשית, והשיפוע שלו הוא \( g/M \).
ו. המסה הכוללת
לוקחים שתי נקודות רחוקות על קו המגמה (לא נקודות מדידה): \( (0.01,\ 0.10) \) ו-\( (0.06,\ 0.59) \).
$$ \text{slope} = \frac{0.59 - 0.10}{0.06 - 0.01} = \frac{0.49}{0.05} \approx 9.8\ \mathrm{\frac{m/s^2}{kg}} $$
משווים לשיפוע מסעיף ה:
$$ \frac{g}{M} = 9.8 \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{10}{9.8} \approx 1\ \mathrm{kg} $$
המסה הכוללת של הסלים היא בערך 1 ק"ג.
הקו המקווקו מראה שהמשך קו המגמה עובר (בקירוב) בראשית, כמו שמנבאת המשוואה.