גרף מהירות זמן

תזכורת - גרף לינארי במתמטיקה

במתמטיקה קו ישר נכתב כך:

$$y=mx+b$$

כל קו ישר מוגדר בעזרת שני נתונים, למשל שתי נקודות, או נקודה ושיפוע:

• \(b\) - נקודת החיתוך עם הציר האנכי. כשמציבים \(x=0\) מקבלים \(y=b\).
• \(m\) - השיפוע. שיפוע 0 הוא קו אופקי. שיפוע חיובי - הקו עולה, ושיפוע שלילי - הקו יורד. ככל שהשיפוע רחוק יותר מאפס, הקו תלול יותר.

שיפוע הוא כמו תלילות של מדרגות: כמה עולים למעלה על כל מטר שמתקדמים קדימה. כדי לחשב אותו בוחרים שתי נקודות כלשהן על הקו (השיפוע זהה בכל מקום על קו ישר):

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

(\(\Delta\), האות היוונית דלתא, פירושה "הפרש".)

גרף מהירות-זמן

בפיזיקה לא קוראים לצירים x ו-y, כי בכל גרף הם מייצגים משהו אחר. ברוב הגרפים בפיזיקה הציר האופקי הוא הזמן \(t\) (בשניות). בגרף מהירות-זמן הציר האנכי הוא המהירות \(v\) (במטר לשנייה). לפעמים כותבים \(v(t)\), כדי שיהיה ברור שהמהירות מוצגת כפונקציה של הזמן.

בתנועה בתאוצה קבועה הגרף הוא קו ישר, והמשוואה שלו היא בדיוק המשוואה של קו ישר:

$$v=at+v_0$$

• נקודת החיתוך עם ציר המהירות - המהירות ההתחלתית \(v_0\), כלומר המהירות בזמן 0.
• השיפוע - התאוצה \(a\). תאוצה היא הקצב שבו המהירות משתנה: בכמה המהירות גדלה (או קטנה) בכל שנייה. $$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$ שיפוע חיובי - המהירות עולה. שיפוע שלילי - המהירות יורדת. קו אופקי - מהירות קבועה, אין תאוצה. ככל שהקו תלול יותר, התאוצה גדולה יותר.

זה כמו משכורת: אם מרוויחים 10 שקלים לשעה ועובדים 3 שעות, מרוויחים 30 שקלים, ועוד מה שהיה בכיס מלכתחילה. באותו אופן: התאוצה כפול הזמן היא כמה מהירות נוספה, ועוד המהירות שהייתה בהתחלה.

למה בכלל גרף?

הגרף והמשוואה מכילים בדיוק אותו מידע. אבל בגרף רואים בעין דברים שקשה לראות במשוואה. לדוגמה:

• שתי מכוניות עם מהירויות התחלתיות שונות ותאוצות שונות: נקודת החיתוך של שני הקווים היא הרגע שבו יש להן אותה מהירות.
• שתי מכוניות עם מהירויות התחלתיות שונות ואותה תאוצה: הקווים מקבילים, ולכן הן לעולם לא יגיעו לאותה מהירות.

השטח מתחת לגרף - המרחק

המידע השלישי שבגרף בולט פחות: השטח בין הגרף לציר הזמן הוא המרחק שהגוף עבר.

הכי קל לראות את זה כשהמהירות קבועה (איור 1 למטה). גוף שנע 5 שניות במהירות 3 מטר לשנייה מתקדם \(3\cdot5=15\) מטר. בגרף, \(3\cdot5\) הוא בדיוק השטח של המלבן שמתחת לקו.

חשוב: השטח מראה כמה הגוף התקדם, ולא איפה הוא נמצא. אם הגוף התחיל במיקום 2 והתקדם 15, הוא נמצא ב-17, אבל את המיקום ההתחלתי 2 לא רואים בגרף.

מהשטח לנוסחאות הקינמטיקה

כשיש תאוצה, הקו אלכסוני והצורה מתחתיו היא טרפז. יש שתי דרכים לחשב את השטח שלו, ומכל אחת מתקבלת נוסחה אחרת. באיורים 2 ו-3 שתי השיטות מוצגות על אותה דוגמה: \(v_0=2\), \(a=1\), \(t=6\), ולכן \(v=8\).

דרך 1 - טרפז (איור 2)

הנתונים: מהירות התחלתית \(v_0\), מהירות סופית \(v\) וזמן \(t\). שטח טרפז הוא ממוצע הבסיסים כפול הגובה. הבסיסים הם \(v_0\) ו-\(v\), והגובה הוא \(t\).

למה ממוצע הבסיסים? אם מעלים את הצד השמאלי של הקו ומורידים את הצד הימני, עד שהקו מתאזן בגובה הממוצע, המשולש שנחתך מלמעלה מימין ממלא בדיוק את החסר מלמטה משמאל. הטרפז הופך למלבן בגובה \(\frac{v_0+v}{2}\) וברוחב \(t\).

צריך להוסיף גם את המיקום ההתחלתי, שלא מופיע בגרף:

$$x(t)=x_0+\frac{v_0+v}{2}\,t$$

בדוגמה: \(\frac{2+8}{2}\cdot6=30\) מטר.

דרך 2 - מלבן ומשולש (איור 3)

הנתונים: מהירות התחלתית \(v_0\), תאוצה (שיפוע) \(a\) וזמן \(t\). מחלקים את הטרפז למלבן ומשולש:

• המלבן: גובה \(v_0\), רוחב \(t\). השטח: \(v_0t\).
• המשולש: רוחב \(t\). הגובה הוא כמה המהירות עלתה. בכל שנייה המהירות עולה ב-\(a\), ולכן אחרי \(t\) שניות היא עלתה ב-\(at\) (קצב העלייה כפול הזמן). השטח: \(\frac{1}{2}\cdot t\cdot at=\frac{1}{2}at^2\).

$$x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

בדוגמה: \(2\cdot6+\frac{1}{2}\cdot1\cdot6^2=12+18=30\) מטר, אותה תשובה כמו בדרך 1.

זו נוסחת המיקום שאנחנו מכירים. הנוסחאות שבדף הנוסחאות הן פשוט חישובי שטח בגרף.

באיזו נוסחה להשתמש?

שטח מתחת לציר הזמן

כשהגרף מתחת לציר הזמן, המהירות שלילית, כלומר הגוף נע בכיוון השלילי. גם אז מחשבים את השטח בין הקו לציר הזמן. שטח הוא תמיד חיובי, אבל הוא מייצג תנועה בכיוון השלילי, ולכן קוראים לו "שטח שלילי".

כשבגרף יש גם חלקים מעל הציר וגם חלקים מתחתיו, ההעתק הכולל הוא סכום השטחים שמעל הציר, פחות סכום השטחים שמתחתיו.