בגרות – מרוץ מכוניות

שני תלמידים מתחרים במרוץ מכוניות לאורך מסלול ישר. כלומר התנועה היא על ציר אחד בלבד, ואין שילוב של ימינה ולמעלה. (תנועה בשני צירים נלמד בהמשך, אחרי שנכיר וקטורים.)

שתי המכוניות, א' ו-ב', יוצאות ממנוחה (\(v_0=0\)), מאותו מקום, באותו זמן ובאותו כיוון. מכונית א' חוצה את קו הסיום לאחר 60 שניות. גרף א' מתאר את מהירות מכונית א' עד קו הסיום. גרף ב' מתאר את מהירות מכונית ב' רק ב-30 השניות הראשונות, ומה שקורה אחר כך לא מופיע בו.

מתי מותר לקרוא ערכים מהגרף?

מותר להסתמך על נקודות שנמצאות בדיוק על קווי הרשת. נקודה שנמצאת בין קווי הרשת היא ניחוש, ולא כדאי להשתמש בה אלא אם אין ברירה.

תיאור התנועה של מכונית א'

• מ-0 עד 10 שניות - המהירות עולה מ-0 ל-6: תאוצה גדולה (קו תלול).
• מ-10 עד 50 שניות - המהירות ממשיכה לעלות, מ-6 ל-10, אבל לאט יותר: תאוצה קטנה.
• מ-50 עד 60 שניות - המהירות קבועה: אין תאוצה.

א. גרף התאוצה של מכונית א'

התאוצה היא השיפוע של גרף המהירות, כלומר כמה מהירות נוספה חלקי כמה זמן זה לקח:

• \(0\) עד \(10\text{s}\): נוספה מהירות של 6 ב-10 שניות. $$a=\frac{6-0}{10-0}=0.6\text{m/s}^2$$
• \(10\) עד \(50\text{s}\): נוספה מהירות של 4 (מ-6 ל-10) ב-40 שניות. $$a=\frac{10-6}{50-10}=0.1\text{m/s}^2$$
• \(50\) עד \(60\text{s}\): המהירות נשארה 10. $$a=\frac{10-10}{60-50}=0$$

איך משרטטים את הגרף

• מערכת צירים חדשה. הזמן נשאר על הציר האופקי, אבל הציר האנכי הוא עכשיו תאוצה, ביחידות ובמספרים אחרים.
• קודם מחשבים את כל הערכים (0.6, 0.1, 0), ורק אחר כך בוחרים קנה מידה. הציר מתחיל תמיד ב-0, והערך העליון שלו צריך להיות קצת יותר גדול מהערך הגדול ביותר, אף פעם לא קטן ממנו.
• מנצלים את המשבצות. בוחרים קפיצה נוחה לכל משבצת, למשל 0.1, כך שהציר יגיע עד 0.7 או 0.8.
• הגרף צריך להתפרס על חצי עמוד לפחות - לא רק מערכת הצירים, אלא הגרף עצמו. אם הציר מגיע עד 16 והערכים הם 0.6 ו-0.1, כל הקווים יידחסו במשבצת התחתונה, ולא יראו כלום.

הגרף שמתקבל הוא שלושה קווים אופקיים: 0.6, אחר כך קפיצה ל-0.1, ואחר כך קפיצה ל-0.

האם מותרות קפיצות בגרף? בגרף תאוצה כן. תאוצה יכולה להשתנות כמעט בבת אחת, למשל כשעוזבים את הגז ולוחצים על הברקס. גרף מהירות וגרף מיקום, לעומת זאת, תמיד רציפים: אי אפשר "להשתגר" ממקום למקום, ואי אפשר לעבור ממהירות 100 למהירות 3 בלי לעבור דרך כל המהירויות שביניהן.

ב. המרחק שעברה מכונית א' עד קו הסיום

יש לנו רק גרף, בלי משוואה. אפשר היה לבנות ממנו משוואה, אבל הרבה יותר קל לחשב שטחים. המרחק הוא השטח מתחת לגרף המהירות, בשלושה חלקים:

• משולש (0 עד 10 שניות): \(\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30\text{m}\)
• טרפז (10 עד 50 שניות): גובה 40, ממוצע הבסיסים 8: \(40\cdot\frac{6+10}{2}=320\text{m}\)
• מלבן (50 עד 60 שניות): \(10\cdot10=100\text{m}\)

$$x=30+320+100=450\text{m}$$

אורך המסלול הוא \(450\text{m}\).

ג. המרחק שעברה כל אחת מהמכוניות ב-30 השניות הראשונות

מכונית א': המשולש הראשון הוא אותם \(30\text{m}\). אחריו טרפז מ-10 עד 30 שניות. ב-\(t=30\text{s}\) המהירות היא \(6+0.1\cdot20=8\text{m/s}\):

$$x_A=30+20\cdot\frac{6+8}{2}=30+140=170\text{m}$$

מכונית ב': משולש מ-0 עד 10 שניות (עד מהירות 2), וטרפז מ-10 עד 30 שניות (מ-2 עד 10):

$$x_B=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2+20\cdot\frac{2+10}{2}=10+120=130\text{m}$$

ד. האם המכוניות נפגשו במהלך המרוץ (לא בזמן 0)?

שימו לב למה לא שואלים:

• לא שואלים מתי יש להן אותה מהירות. זו נקודת החיתוך בין שני גרפי המהירות, וכאן היא לא עוזרת: אותה מהירות לא אומרת אותו מקום.
• לא שואלים מתי הן נפגשו, אלא רק האם. זה רמז שאפשר לענות במילים, בלי חישוב. חישוב מיותר מבזבז זמן יקר במבחן.

התשובה: כן. שתי המכוניות התחילו באותו מקום, באותו זמן ובמנוחה. בהתחלה השיפוע של מכונית א' תלול יותר (תאוצה גדולה יותר), ולכן מכונית א' מקדימה את ב'. אבל מכונית ב' חצתה את קו הסיום שתי שניות לפני א' (ב-\(58\text{s}\)), כלומר בסוף מכונית ב' מקדימה את א'. אם א' הייתה לפני ב' בהתחלה, וב' לפני א' בסוף, אז מתישהו במהלך המרוץ ב' עקפה את א', וברגע העקיפה הן היו באותו מקום.

ה. תאוצת מכונית ב' בקטע האחרון (מ-30 עד 58 שניות)

כאן כבר לא צריך לשרטט, אלא לחשב, ולכן נשתמש במשוואה. כדי לבחור משוואה, נכתוב מה ידוע ומה מחפשים:

• מהירות התחלתית: \(v_0=10\text{m/s}\) - ידוע.
• תאוצה \(a\) - מה שמחפשים.
• מהירות סופית - לא ידועה, וגם לא צריך אותה. אם היא תופיע במשוואה, היא רק תוסיף נעלם מיותר.
• זמן: \(t=58-30=28\text{s}\) - ידוע.
• מיקום: ב-\(t=30\text{s}\) מכונית ב' נמצאת ב-\(130\text{m}\), ובסוף ב-\(450\text{m}\) - ידוע.

המשוואה שמקשרת בין מיקום, מהירות התחלתית, תאוצה וזמן (בלי מהירות סופית):

$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$ $0=130+10\cdot28+\frac{1}{2}a\cdot28^2$$ $0=130+280+392a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{40}{392}\approx0.10\text{m/s}^2$$

בדיקת הגיון: מהגרף לא ברור אם בקטע האחרון מכונית ב' צריכה להאיץ או להאט. כשלא ברור מראש אם התשובה חיובית או שלילית, סביר שהיא תהיה קרובה לאפס, וזה אכן מה שקיבלנו.