התנגשות פלסטית

בתהליך

התנגשות פלסטית היא התנגשות בה שני הגופים מתחברים. המונח "פלסטי" משמעו "שינוי צורה" (למשל: ניתוח פלסטי, פלסטיק, פלסטלינה) ולכן נוכל לדמיין התנגשות פלסטית כהתנגשות של שני גושי פלסטלינה.

כמו שלמדנו, בכל מקרה של התנגשות (לאו דווקא פלסטית) נרשום את משוואת שימור התנע:

$$ m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2} $$

אך מכיוון שבמשוואה זו יש שני נעלמים (שתי המהירויות של שני הגופים לאחר ההתנגשות, המסומנות בקו תחתון במשוואה) נצטרך לרשום משוואה נוספת. משוואה זו תהיה משוואת ההתנגשות הפלסטית, האומרת כי הגופים נדבקים ולכן יש לשניהם אותה מהירות.

$$ u_1=u_2 $$

נוכל לאחד את שתי המשוואות לקבלת משוואה נוחה יותר, שתיתן לנו משוואה אחת בנעלם אחד.

$$ m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)\underline{u_{12}} $$

מתקף ותנע

התנגשות פלסטית

בהתנגשות פלסטית שני הגופים נדבקים וממשיכים יחד. נראה למה מספיקה כאן משוואה אחת, נפתור שתי דוגמאות, ונבדוק לאן נעלמת האנרגיה.

נדבקים יחדמשוואה אחתכיוונים וסימניםאיבוד אנרגיה

רעיון

מה זו התנגשות פלסטית?

מההתחלההצג פתרון

"פלסטי" פירושו משנה צורה, כמו פלסטלינה. בהתנגשות פלסטית שני הגופים נדבקים וממשיכים יחד.

1. כמו בכל התנגשות, התנע נשמר. יש בה שני נעלמים (מסמנים אותם בקו):$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2}$

2. המשוואה השנייה: הגופים נדבקים, ולכן יש להם אותה מהירות:$\displaystyle u_1=u_2$

שני נעלמים ושתי משוואות. מאחדים אותן למשוואה אחת עם נעלם אחד:$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)\underline{u}$$\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

בדיקה

האם התוצאה הגיונית?

מההתחלההצג פתרון

המהירות המשותפת שמצאנו. לפני שמשתמשים בנוסחה, בודקים שהיא הגיונית:

$\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

1. בדיקת יחידות: במונה תנע, ובמכנה מסה. היחידות יוצאות יחידות של מהירות:$\displaystyle \frac{\text{kg}\cdot\text{m/s}}{\text{kg}}=\text{m/s}$

2. מקרי קצה: בודקים מה הנוסחה נותנת כשמסה אחת קטנה מאוד או גדולה מאוד, במקרים שבהם התשובה ברורה מראש. בכל המקרים הגוף השני עומד, $v_2=0$.

3. משאית פוגעת בזבוב ($m_2$ זניחה). המשאית כמעט לא מאטה:$\displaystyle u\approx\frac{m_1v_1}{m_1}=v_1$

4. זבוב פוגע במשאית עומדת ($m_1$ זניחה). המשאית כמעט לא זזה:$\displaystyle u\approx\frac{m_1v_1}{m_2}\approx0$

5. מסות שוות. אותו תנע מתחלק על מסה כפולה, ולכן המהירות יורדת לחצי:$\displaystyle u=\frac{mv_1}{2m}=\frac{v_1}{2}$

הנוסחה עוברת את כל הבדיקות.

דוגמה 1

רכב פוגע ברכב חונה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: רכב במסה $1{,}000\ \text{kg}$ נוסע ב-$20\ \text{m/s}$ ופוגע ברכב חונה במסה $1{,}500\ \text{kg}$. הרכבים מתרסקים ונעים יחד. מה מהירותם המשותפת?

1. רושמים את המשוואות (ומסמנים את הנעלמים בקו): שימור תנע, והרכבים מתרסקים ונעים יחד:$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2}$$\displaystyle u_1=u_2$

2. בודקים: שני נעלמים ושתי משוואות. את הפתרון הכללי כבר מצאנו:$\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

3. רק עכשיו מציבים. הרכב החונה במנוחה, $v_2=0$:$\displaystyle u=\frac{1{,}000\cdot20+1{,}500\cdot0}{1{,}000+1{,}500}=\frac{20{,}000}{2{,}500}$

המהירות המשותפת:$\displaystyle u=8\ \text{m/s}$

אנרגיה

לאן נעלמה האנרגיה?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: בדוגמה הקודמת, האם האנרגיה הקינטית נשמרה?

1. האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות. רושמים את המשוואה, ורק אז מציבים. הרכב החונה במנוחה:$\displaystyle E_0=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$\displaystyle E_0=\frac12\cdot1{,}000\cdot20^2+\frac12\cdot1{,}500\cdot0^2$$\displaystyle E_0=200{,}000\ \text{J}$

2. האנרגיה הקינטית אחרי ההתנגשות. שני הרכבים נעים יחד במהירות $u=8\ \text{m/s}$:$\displaystyle E_1=\frac12(m_1+m_2)u^2$$\displaystyle E_1=\frac12\cdot(1{,}000+1{,}500)\cdot8^2$$\displaystyle E_1=80{,}000\ \text{J}$

אבדו $120{,}000\ \text{J}$.

שימו לב: בהתנגשות פלסטית האנרגיה הקינטית לא נשמרת. היא הופכת לחום, לרעש ולעיוות של הגופים. לכן כאן אסור להשתמש בשימור אנרגיה.

דוגמה 2

התנגשות חזיתית

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $2\ \text{kg}$ נע ימינה ב-$6\ \text{m/s}$, וגוף במסה $3\ \text{kg}$ נע שמאלה ב-$4\ \text{m/s}$. הם מתנגשים ונדבקים. מה מהירותם המשותפת?

1. רושמים את המשוואות (ומסמנים את הנעלמים בקו):$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2}$$\displaystyle u_1=u_2$

2. בודקים: שני נעלמים ושתי משוואות. את הפתרון הכללי כבר מצאנו:$\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

3. רק עכשיו מציבים. ימינה חיובי, והגוף השני נע שמאלה, ולכן $v_2=-4\ \text{m/s}$:$\displaystyle u=\frac{2\cdot6+3\cdot(-4)}{2+3}=\frac{12-12}{5}$

התנע הכולל אפס, ולכן הגופים נעצרים:$\displaystyle u=0$

מקרה 1

גוף כבד פוגע בגוף קל

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $99\ \text{kg}$ נע ב-$10\ \text{m/s}$ ופוגע בגוף עומד במסה $1\ \text{kg}$. הגופים נדבקים. מה המהירות המשותפת, וכמה אנרגיה הפכה לחום?

1. רושמים את המשוואות (ומסמנים את הנעלמים בקו). התנע נשמר, והגופים נדבקים. האנרגיה הקינטית שאבדה היא העבודה $W$ שהפכה לחום ולשינוי צורה:$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2}$$\displaystyle u_1=u_2$$\displaystyle \underline{W}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2-\frac12m_1u_1^2-\frac12m_2u_2^2$

2. בודקים: שלושה נעלמים ($u_1$, $u_2$, $W$) ושלוש משוואות. אפשר לפתור.

3. את המהירות המשותפת כבר מצאנו בצורה כללית. רק עכשיו מציבים. הגוף השני במנוחה, ולכן המהירות שלו אפס:$\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$$\displaystyle u=\frac{99\cdot10+1\cdot0}{99+1}=\frac{990}{100}$$\displaystyle u=9.9\ \text{m/s}$

▶ הפעלה

מקרה 1

גוף כבד פוגע בגוף קל

מההתחלההצג פתרון

4. האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות ואחריה:$\displaystyle E_0=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$\displaystyle E_0=\frac12\cdot99\cdot10^2+\frac12\cdot1\cdot0^2=4{,}950\ \text{J}$$\displaystyle E_1=\frac12(m_1+m_2)u^2$$\displaystyle E_1=\frac12\cdot(99+1)\cdot9.9^2=4{,}900.5\ \text{J}$

5. העבודה שהפכה לחום ולשינוי צורה:$\displaystyle W=E_0-E_1$$\displaystyle W=4{,}950-4{,}900.5=49.5\ \text{J}$

הגוף הכבד כמעט לא מאט, ונוצר מעט חום: 49.5 ג׳אול.

▶ הפעלה

מקרה 2

גוף קל פוגע בגוף כבד

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $1\ \text{kg}$ נע ב-$10\ \text{m/s}$ ופוגע בגוף עומד במסה $99\ \text{kg}$. הגופים נדבקים. מה המהירות המשותפת, וכמה אנרגיה הפכה לחום?

2. בודקים: שלושה נעלמים ($u_1$, $u_2$, $W$) ושלוש משוואות. אפשר לפתור.

3. את המהירות המשותפת כבר מצאנו בצורה כללית. רק עכשיו מציבים. הגוף השני במנוחה, ולכן המהירות שלו אפס:$\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$$\displaystyle u=\frac{1\cdot10+99\cdot0}{1+99}=\frac{10}{100}$$\displaystyle u=0.1\ \text{m/s}$

▶ הפעלה

מקרה 2

גוף קל פוגע בגוף כבד

מההתחלההצג פתרון

4. האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות ואחריה:$\displaystyle E_0=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$\displaystyle E_0=\frac12\cdot1\cdot10^2+\frac12\cdot99\cdot0^2=50\ \text{J}$$\displaystyle E_1=\frac12(m_1+m_2)u^2$$\displaystyle E_1=\frac12\cdot(1+99)\cdot0.1^2=0.5\ \text{J}$

5. העבודה שהפכה לחום ולשינוי צורה:$\displaystyle W=E_0-E_1$$\displaystyle W=50-0.5=49.5\ \text{J}$

הגופים כמעט נעצרים. נוצרו 49.5 ג׳אול חום, בדיוק כמו במקרה 1.

▶ הפעלה

מקרה 3

מסות שוות

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $50\ \text{kg}$ נע ב-$10\ \text{m/s}$ ופוגע בגוף עומד במסה $50\ \text{kg}$. הגופים נדבקים. מה המהירות המשותפת, וכמה אנרגיה הפכה לחום?

2. בודקים: שלושה נעלמים ($u_1$, $u_2$, $W$) ושלוש משוואות. אפשר לפתור.

3. את המהירות המשותפת כבר מצאנו בצורה כללית. רק עכשיו מציבים. הגוף השני במנוחה, ולכן המהירות שלו אפס:$\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$$\displaystyle u=\frac{50\cdot10+50\cdot0}{50+50}=\frac{500}{100}$$\displaystyle u=5\ \text{m/s}$

▶ הפעלה

מקרה 3

מסות שוות

מההתחלההצג פתרון

4. האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות ואחריה:$\displaystyle E_0=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$\displaystyle E_0=\frac12\cdot50\cdot10^2+\frac12\cdot50\cdot0^2=2{,}500\ \text{J}$$\displaystyle E_1=\frac12(m_1+m_2)u^2$$\displaystyle E_1=\frac12\cdot(50+50)\cdot5^2=1{,}250\ \text{J}$

5. העבודה שהפכה לחום ולשינוי צורה:$\displaystyle W=E_0-E_1$$\displaystyle W=2{,}500-1{,}250=1{,}250\ \text{J}$

המהירות יורדת לחצי, ונוצרו 1250 ג׳אול חום.

▶ הפעלה

השוואה

כמה חום נוצר?

מההתחלההצג פתרון

1. במקרים 1 ו-2 נוצרה בדיוק אותה כמות חום, 49.5 ג׳אול, אף שהאנרגיה ההתחלתית שונה מאוד.

2. הסיבה: החום תלוי רק במסות ובמהירות היחסית בין הגופים, ולא בשאלה מי פוגע במי:$\displaystyle W=\frac12\cdot\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\left(v_1-v_2\right)^2$$\displaystyle Q=\frac12\cdot\frac{99\cdot1}{99+1}\cdot10^2=49.5\ \text{J}$

3. במקרה 3 המסות שוות, ונוצר הרבה יותר חום:$\displaystyle W=\frac12\cdot\frac{50\cdot50}{50+50}\cdot10^2=1{,}250\ \text{J}$

נסו בעצמכם

בחרו מסות ומהירויות

מההתחלההצג פתרון

שאלה: בחרו מסה ומהירות לכל אחד משני הגופים, ולחצו על הכפתור כדי לראות את ההתנגשות.

גוף 1 · הכתום, משמאל

מסה60 kg

מהירות8 m/s

מהירות חיובית: נע ימינה, לכיוון הגוף הכחול.

גוף 2 · הכחול, מימין

מסה20 kg

מהירות0 m/s

מהירות שלילית: נע שמאלה. אפס: עומד במקום.

▶ הפעלת ההתנגשות

מהירות משותפת

אנרגיה לפני

אנרגיה אחרי

חום שנוצר

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←

מכניקה

התנגשות פלסטית