שתי תיבות A ו-B מחוברות ביניהן בחוט, כשקפיץ דחוס (הנוגע בשתיהן) נמצא ביניהן. כאשר החוט נקרע, הקפיץ דוחף את התיבות לכיוונים מנוגדים, והן ממשיכות במהירויות קבועות לאחר ההיפרדות ממנו.
שלב 1 - שימור תנע ואנרגיה בזמן פעולת הקפיץ
לפני קריעת החוט, המערכת (כולל הקפיץ הדחוס) הייתה במנוחה - התנע הכולל היה אפס. כל עוד הקפיץ פועל על התיבות (ועד להתנתקותן ממנו), אין כוחות חיצוניים אופקיים על המערכת, ואין חיכוך - לכן גם התנע הכולל וגם האנרגיה המכנית הכוללת נשמרים באותו פרק זמן:
משתי המשוואות ניתן לחלץ את שני גדלי המהירויות \( u_A,u_B \) הנתונים בשאלה.
שלב 2 - תיבה A עולה במורד שאינו חלק
לאחר ההיפרדות מהקפיץ, תיבה A ממשיכה במהירות קבועה על המשטח האופקי, ולאחר מכן עולה במורד (שיפוע) עד לנקודה C בגובה נתון, ואז יורדת בחזרה.
כיצד מוכיחים שהמורד אינו חלק (יש בו חיכוך)?
אם המורד היה חלק לחלוטין (ללא חיכוך), האנרגיה המכנית הייתה נשמרת במלואה בין תחילת העלייה לסוף הירידה - כלומר, התיבה הייתה חוזרת לנקודת המוצא (על המשטח האופקי) באותה מהירות בדיוק שהייתה לה כשהתחילה לעלות. הדרך להוכיח שהמורד אינו חלק היא להראות שמהירות התיבה בחזרתה למשטח האופקי קטנה ממהירותה בתחילת העלייה - הפרש זה מעיד על אובדן אנרגיה לחיכוך במהלך המסלול על המורד, ומכאן שהמורד מחוספס.
שלב 3 - ניתוח תנועה בעזרת מטוטלת תלויה על התיבה
מטוטלת קטנה התלויה על מוט המחובר לתיבה יכולה לשמש "מד תאוצה" חזותי: אם התיבה נעה במהירות קבועה (ללא תאוצה), המטוטלת תלויה בדיוק אנכית - בדיוק כמו משקולת התלויה בחדר במנוחה. אם התיבה מאיצה או מאטה, המטוטלת נוטה מהאנך בכיוון הפוך לכיוון התאוצה (בדיוק כמו חפץ תלוי במכונית המאיצה או בולמת).
לכן, כדי לקבוע איזה משלושת הציורים המוצגים (I, II, III) מתאר נכון את מצב המטוטלת בזמן תנועת התיבה על המשטח האופקי (לאחר ההיפרדות מהקפיץ, לפני העלייה במורד) - יש לבדוק תחילה האם באותו קטע התיבה נעה בתאוצה קבועה, בהאטה, או במהירות קבועה. מכיוון שהמשטח האופקי חלק (ללא חיכוך) וללא כוחות אופקיים נוספים באותו קטע, התיבה נעה שם במהירות קבועה - ולכן המטוטלת אמורה להיות תלויה בדיוק אנכית (ללא נטייה) באותו קטע.
בגרות 2017 · שאלה 3
קפיץ, שתי תיבות ומדרון
קפיץ מכווץ דוחף שתי תיבות לצדדים. נבדוק מה נשמר, נחשב את המהירויות, נגלה שהמדרון מחוספס, ונבין מה מטוטלת תלויה מספרת על התאוצה.
שימור תנעשימור אנרגיהאיבוד אנרגיה לחוםמטוטלת ותאוצה
הנתונים
שתי תיבות וקפיץ
מההתחלההצג פתרון
שאלה: תיבות \(m_A=300\ \text{g}\) ו-\(m_B=100\ \text{g}\) במנוחה על משטח אופקי חלק. ביניהן קפיץ מכווץ \((k=480\ \text{N/m})\) שאורכו \(10\ \text{cm}\), וחוט מונע מהתיבות לזוז. אורך הקפיץ הרפוי \(20\ \text{cm}\). החוט נקרע.
1. מה שמעניין אותנו הוא לא האורך, אלא כמה הקפיץ התכווץ: ההפרש בין הרפוי למכווץ.\(\Delta x=20-10=10\ \text{cm}=0.1\ \text{m}\)
2. מסת הקפיץ זניחה. כשהחוט נקרע, הקפיץ דוחף את התיבות לכיוונים מנוגדים, והן ממשיכות במהירויות קבועות \(u_A\) ו-\(u_B\).
שימו לב: יש פה שני 10: אורך הקפיץ המכווץ הוא 10 cm, וגם הכיווץ יצא 10 cm. זה מקרה, ולא אותו דבר.
סעיף א
האם התנע נשמר?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: בפרק הזמן מקריעת החוט ועד שהתיבות מתנתקות מהקפיץ: האם התנע של המערכת נשמר? נמקו.
1. המערכת: שתי התיבות והקפיץ. הקפיץ דוחף את התיבות, אבל זה כוח פנימי של המערכת.
2. המשטח חלק, ולכן אין כוח חיצוני אופקי על המערכת.
התנע נשמר, כי אין כוח חיצוני. לפני הוא 0, ולכן גם אחרי הוא 0.
שימו לב: בלי כוח חיצוני המערכת "בממוצע" לא זזה: תיבה אחת זזה ימינה ואחת שמאלה.
סעיף ב
האם האנרגיה המכנית נשמרת?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: באותו פרק זמן: האם האנרגיה המכנית הכוללת של המערכת נשמרת? נמקו.
1. אנרגיה מכנית היא כל האנרגיות שלמדנו: גובה, קפיץ וקינטית. הגובה לא משתנה.
2. אנרגיית הקפיץ הופכת לאנרגיה קינטית של התיבות. המשטח חלק, ולכן אין חיכוך ושום אנרגיה לא נאבדת.
האנרגיה המכנית נשמרת: כל האנרגיה של הקפיץ הפכה לאנרגיה קינטית.
סעיף ג
המהירויות
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חשבו את גודלי המהירויות \(u_A\) ו-\(u_B\).
1. שני נעלמים, ולכן צריך שתי משוואות: שימור תנע ושימור אנרגיה. תנע (לפני הכל במנוחה, והתיבות בכיוונים מנוגדים):\(0=m_Au_A-m_Bu_B\ \Rightarrow\ u_B=3u_A\)
2. אנרגיה: אנרגיית הקפיץ הופכת לאנרגיה קינטית:\(\tfrac{1}{2}k\Delta x^2=\tfrac{1}{2}m_Au_A^2+\tfrac{1}{2}m_Bu_B^2\)
שימו לב: אחרי שכתבנו שתי משוואות עם שני נעלמים, החלק הפיזיקלי נגמר. מה שנשאר זה הצבה.
סעיף ד
המדרון לא חלק
מההתחלההצג פתרון
שאלה: תיבה A מגיעה למדרון, עולה עד הנקודה C בגובה \(h_C=0.1\ \text{m}\), ויורדת חזרה. הוכיחו שהמדרון אינו חלק.
1. הרעיון: אם המדרון חלק, כל האנרגיה הקינטית הופכת לאנרגיית גובה. נבדוק אם זה מה שקרה. אנרגיה קינטית בתחתית המדרון:\(\tfrac{1}{2}m_Au_A^2=\tfrac{1}{2}\cdot0.3\cdot2^2=0.6\ \text{J}\)
2. אנרגיית הגובה בנקודה C:\(m_Agh_C=0.3\cdot10\cdot0.1=0.3\ \text{J}\)
אנרגיית הגובה קטנה מהאנרגיה הקינטית: נאבדה אנרגיה בדרך, ולכן המדרון לא חלק.
שימו לב: ההפרש, \(0.6-0.3=0.3\ \text{J}\), הפך לחום. בלי חיכוך התיבה הייתה מגיעה לגובה \(h=\frac{u_A^2}{2g}=0.2\ \text{m}\).
סעיף ה
המטוטלת על התיבה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: על התיבה A תלויה מטוטלת קטנה. איזה איור מתאר את המטוטלת בזמן שהתיבה נעה על המשטח האופקי? הסבירו.
1. המשטח חלק: אין חיכוך ואין כוח אופקי. בלי כוח אין תאוצה, והתיבה נעה במהירות קבועה.
2. מערכת בלי תאוצה (מערכת אינרציאלית) מתנהגת כמו כיתה במנוחה. כמו מטוטלת במטוס שטס במהירות קבועה: היא תלויה ישר למטה.
איור I: המטוטלת אנכית.
שימו לב: ומה אם המטוטלת נראית כמו ב-II? אז התיבה מאיצה ימינה: או שהיא נוסעת ימינה ומגבירה מהירות, או שהיא נוסעת שמאלה ובולמת. כמו ברכב: בבלימה חזקה ובהאצה ברוורס מרגישים אותו דבר.
