סכימת וקטורים בחישוב

מכניקה חישובים וקטורים סכימת וקטורים בחישוב

בתהליך

שני וקטורים באותו כיוון

כשהכיוון זהה, הווקטורים יושבים על אותו קו ישר, ולכן הגדלים פשוט מתחברים: $R=A+B$, והכיוון לא משתנה.

שני וקטורים באותו גודל

השקול נמצא בדיוק באמצע הזווית שבין שני הווקטורים. למשל, 5 N ימינה ועוד 5 N למעלה נותנים $R=\sqrt{5^2+5^2}\approx7.1\ \text{N}$ בזווית $45^\circ$, ולא 10 N.

חיבור וקטורים נתונים כרכיבים

מחברים את הרכיבים של כל ציר בנפרד, כמו מספרים רגילים:

$$ R_x=A_x+B_x,\qquad R_y=A_y+B_y $$

ואז חוזרים לגודל ולכיוון של השקול:

$$ R=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\qquad \theta=\tan^{-1}\frac{R_y}{R_x} $$

את הגדלים של הווקטורים אי אפשר לחבר ישירות, חוץ ממקרה שבו הם באותו כיוון. מחברים רק רכיבים.

חיבור וקטורים נתונים כגודל וכיוון

מפרקים כל וקטור לרכיבים: $A_x=A\cos\alpha$, $A_y=A\sin\alpha$. הזווית נמדדת מציר x החיובי, נגד כיוון השעון.
מחברים את הרכיבים של כל ציר.
חוזרים לגודל ולכיוון של השקול.

בדיקה מהירה: הזווית של השקול תמיד נמצאת בין הזוויות של שני הווקטורים.

וקטורים

סכימת וקטורים

איך מחברים שני וקטורים בחישוב? כשהם נתונים כרכיבים מחברים רכיב לרכיב. כשהם נתונים כגודל וכיוון, מפרקים קודם לרכיבים. בסוף, תרגול: מחשבים לבד את השקול של שני וקטורים.

חיבור רכיביםפירוק לרכיביםגודל וכיווןראש לזנבתרגול

דוגמה 1

שני וקטורים באותו כיוון

מההתחלההצג פתרון

שאלה: $\vec A$ בגודל $3\ \text{N}$ ו-$\vec B$ בגודל $2\ \text{N}$, שניהם בזווית $37^\circ$. מה השקול?

1. מחברים ראש לזנב. כשהכיוון זהה, B ממשיך את A על אותו קו ישר.

2. לכן הגדלים פשוט מתחברים:$R=A+B=3+2=5\ \text{N}$

הכיוון לא משתנה:$R=5\ \text{N},\quad \theta=37^\circ$

שימו לב: רק בווקטורים באותו כיוון מחברים גדלים. בכל מקרה אחר צריך רכיבים.

דוגמה 2

אותו גודל, כיוונים שונים

מההתחלההצג פתרון

שאלה: $\vec A$ בגודל $5\ \text{N}$ ימינה (זווית $0^\circ$), ו-$\vec B$ בגודל $5\ \text{N}$ למעלה (זווית $90^\circ$). מה השקול?

1. הגדלים לא מתחברים: $5+5=10$ לא נכון, כי הווקטורים לא באותו כיוון.

2. A הוא כולו רכיב x ו-B כולו רכיב y:$R_x=5,\quad R_y=5$

גודל וכיוון:$R=\sqrt{5^2+5^2}\approx7.1\ \text{N},\quad \theta=\tan^{-1}\tfrac{5}{5}=45^\circ$

שימו לב: כששני הווקטורים באותו גודל, השקול נמצא בדיוק באמצע הזווית שביניהם: $\tfrac{0^\circ+90^\circ}{2}=45^\circ$.

תיאוריה 1

וקטורים נתונים כרכיבים

מההתחלההצג פתרון

שאלה: נתונים שני וקטורים כרכיבים: $\vec A=(3,\ 1)$ ו-$\vec B=(1,\ 3)$. מה השקול $\vec R=\vec A+\vec B$?

1. מחברים את הרכיבים האופקיים, כמו מספרים רגילים:$R_x=A_x+B_x=3+1=4$

2. מחברים את הרכיבים האנכיים:$R_y=A_y+B_y=1+3=4$

חוזרים לגודל ולכיוון:$R=\sqrt{4^2+4^2}\approx5.7,\quad \theta=\tan^{-1}\tfrac{4}{4}=45^\circ$

שימו לב: את הגדלים אי אפשר לחבר ישירות: $|A|+|B|\approx3.2+3.2=6.3$, אבל $R\approx5.7$. מחברים רק רכיבים.

תיאוריה 2

וקטורים נתונים כגודל וכיוון

מההתחלההצג פתרון

שאלה: $\vec A$ בגודל $50\ \text{N}$ בזווית $37^\circ$, ו-$\vec B$ בגודל $20\ \text{N}$ בזווית $60^\circ$. הזוויות נמדדות מציר x החיובי, נגד כיוון השעון. מה השקול?

1. מפרקים את A לרכיבים:$A_x=50\cos37^\circ=40,\quad A_y=50\sin37^\circ=30$

2. מפרקים את B באותה דרך:$B_x=20\cos60^\circ=10,\quad B_y=20\sin60^\circ\approx17.3$

3. מחברים רכיבים:$R_x=40+10=50,\quad R_y=30+17.3=47.3$

חוזרים לגודל ולכיוון:$R=\sqrt{50^2+47.3^2}\approx68.8\ \text{N},\quad \theta=\tan^{-1}\tfrac{47.3}{50}\approx43.4^\circ$

שימו לב: הזווית של השקול תמיד בין הזוויות של A ושל B. כאן $43.4^\circ$ נמצאת בין $37^\circ$ ל-$60^\circ$. זו בדיקה מהירה לתשובה.

תרגיל בכיתה

משנים את הווקטורים

הצג פתרון

שאלה: גררו את ראשי החצים של A ושל B. בכל מצב, חשבו את הגודל ואת הכיוון של השקול $\vec R=\vec A+\vec B$. הזוויות נמדדות מציר x החיובי.

גררו את העיגולים שבראשי החצים

תרגול

חשבו את השקול

שאלה חדשהפתרון

שאלה: שני וקטורים מחוברים ראש לזנב. הזוויות נמדדות מציר x החיובי, נגד כיוון השעון. חשבו במחברת את הגודל ואת הכיוון של השקול $\vec R=\vec A+\vec B$, ואז לחצו על "פתרון".

סיכום

מה למדנו

נתונים כרכיבים$R_x=A_x+B_x,\ R_y=A_y+B_y$

נתונים כגודל וכיווןמפרקים, מחברים, חוזרים

גודל השקול$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$

כיוון השקול$\theta=\tan^{-1}\tfrac{R_y}{R_x}$

טעויות נפוצות

לחבר גדלים. מחברים רק רכיבים, רכיב x עם רכיב x ורכיב y עם רכיב y.

לחבר זוויות. הכיוון של השקול מחושב מהרכיבים, לא מסכום הזוויות.

לבלבל sin ו-cos. כשהזווית נמדדת מציר x: רכיב x עם cos ורכיב y עם sin.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←