התנגשות אלסטית

בתהליך

התנגשות אלסטית מוגדרת כהתנגשות ללא איבוד אנרגיה. אלסטי, משמע, ללא שינוי צורה. לדוגמא, כדורי סנוקר וכדורי רגל עשויים מחומרים אלסטיים, כדי לשמר אנרגיה בזמן ההתנגשות.

כמו שלמדנו, בכל התנגשות (לא רק אלסטית) נשתמש במשוואת שימור התנע:

$$ m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2} $$

כאשר בהתנגשות אלסטית, המשוואה השניה (בנוסף למשוואת שימור התנע) תהיה:

$$ \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2 $$

במקרה זה, יש לנו שתי משוואות בשני נעלמים (המסומנים בקו תחתון במשוואות), בסט משוואות לא לינאריות, לכן אין פתרון "קל" למשוואות, ונצטרך לפתור כל מקרה לגופו.

נכיר את תוצאות המשוואות האינטואיטיביות לששת המקרים הקלאסיים:

קטן בגדול - אלסטית לעומת פלסטית:

אלסטית

פלסטית

במסות זהות - אלסטית לעומת פלסטית:

אלסטית

פלסטית

גדול בקטן - אלסטית לעומת פלסטית:

אלסטית

פלסטית

מתקף ותנע

התנגשות אלסטית

למדנו על התנגשות פלסטית, שבה הגופים משנים צורה. עכשיו נכיר את הסוג השני: התנגשות שבה הגופים חוזרים לצורתם. נבין למה זה אומר שהאנרגיה נשמרת, ואיך נראית המשוואה.

פלסטי ואלסטישימור אנרגיהשתי משוואותלא לבלבל

רעיון

פלסטי ואלסטי

מההתחלההצג פתרון

פלסטי פירושו משנה צורה, כמו פלסטלינה. זורקים כדור פלסטלינה, ואחרי הפגיעה הוא כבר לא כדור: הוא מעוך.

אלסטי פירושו גמיש: משנה צורה וחוזר לצורתו. בהילוך איטי רואים שכדורגל נמעך כמעט לחצי ברגע הבעיטה, ואחרי הפגיעה הוא שוב עגול.

גם קשיח זה אלסטי: כדור ביליארד כמעט לא משתנה בפגיעה. פלסטלינה לא גמישה ולא קשיחה, ולכן היא משנה צורה.

בהתנגשות אלסטית, אחרי הפגיעה הגופים נראים בדיוק כמו לפני.

רעיון

למה זה אומר שימור אנרגיה?

מההתחלההצג פתרון

1. את המשפט "הגוף לא השתנה" אי אפשר לכתוב כמשוואה. צריך דרך מתמטית להגיד את זה.

2. לעוות גוף עולה אנרגיה, כמו לכווץ קפיץ. בהתנגשות פלסטית חלק מהאנרגיה הקינטית הולך לעיוות, לחום ולרעש, ולא חוזר.

3. בהתנגשות אלסטית שום אנרגיה לא הלכה לעיוות. לכן סך האנרגיה הקינטית לפני שווה לסך האנרגיה הקינטית אחרי:$\displaystyle \frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2$

התנגשות אלסטית: האנרגיה הקינטית נשמרת.

המשוואות

שתי משוואות, שני נעלמים

מההתחלההצג פתרון

1. בכל פגיעה, מכל סוג, התנע נשמר (את הנעלמים מסמנים בקו):$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2}$

2. יש שני נעלמים, $u_1$ ו-$u_2$. המשוואה השנייה תלויה בסוג הפגיעה.

פלסטית: הגופים נדבקים.$\displaystyle u_1=u_2$

אלסטית: האנרגיה הקינטית נשמרת.$\displaystyle \frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2$

תמיד שימור תנע, ועוד משוואה אחת לפי סוג הפגיעה. בפגיעה שאינה פלסטית ואינה אלסטית צריך מידע אחר, למשל כמה אנרגיה אבדה.

שימו לב

לא לבלבל בין המשוואות

מההתחלההצג פתרון

1. שתי המשוואות נראות דומות מאוד:$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2$$\displaystyle \frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2$

2. החצי בכל איבר לא משנה דבר. אבל המהירויות במשוואת האנרגיה בריבוע.

3. תנע הוא וקטור: לסימן של המהירות יש משמעות. אנרגיה היא סקלר: הריבוע מוחק את הכיוון.

אלו שתי משוואות שונות לגמרי, משני חוקים שונים. תנע נשמר בכל פגיעה. אנרגיה קינטית רק באלסטית.

מצחית

כשהכל על קו אחד

מההתחלההצג פתרון

1. משוואת האנרגיה קשה לפתרון בגלל הריבועים.

2. אם התנועה על קו אחד, בלי סטייה לצדדים, הפגיעה נקראת מצחית. הגופים יכולים להמשיך קדימה או לחזור אחורה, אבל לא לצדדים.

בפגיעה אלסטית מצחית, משוואת האנרגיה נהיית פשוטה:

$\displaystyle u_1-u_2=-(v_1-v_2)$

שימו לב: זו עדיין משוואת אנרגיה, רק בלי ריבועים. את הפיתוח נראה בשיעור על התנגשות אלסטית מצחית.

פתרון כללי

כשהגוף השני עומד

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $m_1$ נע במהירות $v_1$ ופוגע פגיעה אלסטית מצחית בגוף עומד במסה $m_2$. מה המהירויות אחרי הפגיעה?

1. רושמים את המשוואות (ומסמנים את הנעלמים בקו): שימור תנע, ומשוואת אלסטית מצחית. הגוף השני עומד, $v_2=0$:$\displaystyle m_1v_1=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2}$$\displaystyle u_1-u_2=-v_1$

2. בודקים: שני נעלמים ושתי משוואות. אפשר לפתור. מהמשוואה השנייה:$\displaystyle u_2=u_1+v_1$

3. מציבים במשוואת התנע ומבודדים את $u_1$:$\displaystyle m_1v_1=m_1u_1+m_2(u_1+v_1)$$\displaystyle (m_1-m_2)v_1=(m_1+m_2)u_1$

המהירויות אחרי הפגיעה:

$\displaystyle u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1\qquad u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1$

בדיקה

האם התוצאה הגיונית?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: המהירויות שמצאנו. לפני שמשתמשים בהן, בודקים שהן הגיוניות:

$\displaystyle u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1\qquad u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1$

1. בדיקת יחידות: השבר הוא מסה חלקי מסה, ולכן אין לו יחידות. נשארות היחידות של $v_1$:$\displaystyle \frac{\text{kg}}{\text{kg}}\cdot\text{m/s}=\text{m/s}$

2. מקרי קצה: בודקים מה הנוסחאות נותנות במקרים שבהם התשובה ברורה מראש. נראה שלושה מקרים בשקופית הבאה.

בדיקה

האם התוצאה הגיונית?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: המהירויות שמצאנו. לפני שמשתמשים בהן, בודקים שהן הגיוניות:

$\displaystyle u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1\qquad u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1$

3. כדור באולינג פוגע בכדור פינג פונג ($m_2$ זניחה). הבאולינג ממשיך כמעט באותה מהירות:$\displaystyle u_1\approx\frac{m_1}{m_1}\,v_1=v_1\qquad u_2\approx\frac{2m_1}{m_1}\,v_1=2v_1$

4. כדור פינג פונג פוגע בקיר ($m_1$ זניחה). הוא ניתז אחורה באותה מהירות, והקיר לא זז:$\displaystyle u_1\approx\frac{-m_2}{m_2}\,v_1=-v_1\qquad u_2\approx0$

5. מסות שוות. הגוף הפוגע נעצר, והגוף השני ממשיך במהירות שלו:$\displaystyle u_1=\frac{m-m}{2m}\,v_1=0\qquad u_2=\frac{2m}{2m}\,v_1=v_1$

הנוסחאות עוברות את כל הבדיקות.

מקרה 1

גוף כבד פוגע בגוף קל

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $99\ \text{kg}$ נע ב-$10\ \text{m/s}$ ופוגע פגיעה אלסטית מצחית בגוף עומד במסה $1\ \text{kg}$. מה המהירויות של הגופים אחרי ההתנגשות?

1. רושמים את המשוואות (ומסמנים את הנעלמים בקו): שימור תנע, ומשוואת אלסטית מצחית:$\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1\underline{u_1}+m_2\underline{u_2}$$\displaystyle u_1-u_2=-(v_1-v_2)$

2. בודקים: שני נעלמים ושתי משוואות. הגוף השני עומד, ואת הפתרון הכללי כבר מצאנו:$\displaystyle u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1$$\displaystyle u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1$

3. רק עכשיו מציבים את הנתונים:$\displaystyle u_1=\frac{99-1}{99+1}\cdot10=9.8\ \text{m/s}$$\displaystyle u_2=\frac{2\cdot99}{99+1}\cdot10=19.8\ \text{m/s}$

▶ הפעלה

מקרה 1

גוף כבד פוגע בגוף קל

מההתחלההצג פתרון

הגוף הכבד כמעט לא מאט, והגוף הקל עף כמעט בכפול מהמהירות.

בדיקה: האנרגיה הקינטית לפני ואחרי שווה, ולא נוצר חום. רושמים את המשוואות, ורק אז מציבים:$\displaystyle E_0=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$\displaystyle E_0=\frac12\cdot99\cdot10^2+\frac12\cdot1\cdot0^2=4{,}950\ \text{J}$$\displaystyle E_1=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2$$\displaystyle E_1=\frac12\cdot99\cdot9.8^2+\frac12\cdot1\cdot19.8^2=4{,}950\ \text{J}$

▶ הפעלה

מקרה 2

גוף קל פוגע בגוף כבד

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $1\ \text{kg}$ נע ב-$10\ \text{m/s}$ ופוגע פגיעה אלסטית מצחית בגוף עומד במסה $99\ \text{kg}$. מה המהירויות של הגופים אחרי ההתנגשות?

3. רק עכשיו מציבים את הנתונים:$\displaystyle u_1=\frac{1-99}{1+99}\cdot10=-9.8\ \text{m/s}$$\displaystyle u_2=\frac{2\cdot1}{1+99}\cdot10=0.2\ \text{m/s}$

▶ הפעלה

מקרה 2

גוף קל פוגע בגוף כבד

מההתחלההצג פתרון

הגוף הקל ניתז אחורה כמעט באותה מהירות, והגוף הכבד כמעט לא זז.

בדיקה: האנרגיה הקינטית לפני ואחרי שווה, ולא נוצר חום. רושמים את המשוואות, ורק אז מציבים:$\displaystyle E_0=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$\displaystyle E_0=\frac12\cdot1\cdot10^2+\frac12\cdot99\cdot0^2=50\ \text{J}$$\displaystyle E_1=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2$$\displaystyle E_1=\frac12\cdot1\cdot(-9.8)^2+\frac12\cdot99\cdot0.2^2=50\ \text{J}$

▶ הפעלה

מקרה 3

מסות שוות

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף במסה $50\ \text{kg}$ נע ב-$10\ \text{m/s}$ ופוגע פגיעה אלסטית מצחית בגוף עומד במסה $50\ \text{kg}$. מה המהירויות של הגופים אחרי ההתנגשות?

3. רק עכשיו מציבים את הנתונים:$\displaystyle u_1=\frac{50-50}{50+50}\cdot10=0\ \text{m/s}$$\displaystyle u_2=\frac{2\cdot50}{50+50}\cdot10=10\ \text{m/s}$

▶ הפעלה

מקרה 3

מסות שוות

מההתחלההצג פתרון

הגוף הפוגע נעצר, והגוף השני ממשיך במהירות שלו.

בדיקה: האנרגיה הקינטית לפני ואחרי שווה, ולא נוצר חום. רושמים את המשוואות, ורק אז מציבים:$\displaystyle E_0=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$\displaystyle E_0=\frac12\cdot50\cdot10^2+\frac12\cdot50\cdot0^2=2{,}500\ \text{J}$$\displaystyle E_1=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2$$\displaystyle E_1=\frac12\cdot50\cdot0^2+\frac12\cdot50\cdot10^2=2{,}500\ \text{J}$

▶ הפעלה

השוואה

כמה אנרגיה עוברת לגוף השני?

מההתחלההצג פתרון

1. בהתנגשות אלסטית לא נוצר חום. האנרגיה רק עוברת מגוף לגוף.

2. האנרגיה שקיבל הגוף השני בכל מקרה. רושמים את המשוואה, ומציבים את מסת הגוף השני ואת המהירות שלו אחרי הפגיעה:$\displaystyle E_2=\frac12m_2u_2^2$$\displaystyle \frac12\cdot1\cdot19.8^2\approx196\ \text{J}$$\displaystyle \frac12\cdot99\cdot0.2^2=1.98\ \text{J}$$\displaystyle \frac12\cdot50\cdot10^2=2{,}500\ \text{J}$

3. גוף כבד שפוגע בגוף קל כמעט לא מאבד אנרגיה. גוף קל שפוגע בגוף כבד ניתז אחורה ושומר כמעט את כל האנרגיה שלו.

כשהמסות שוות, כל האנרגיה עוברת לגוף השני: הגוף הפוגע נעצר.

נסו בעצמכם

בחרו מסות ומהירויות

מההתחלההצג פתרון

שאלה: בחרו מסה ומהירות לכל אחד משני הגופים, ולחצו על הכפתור כדי לראות את ההתנגשות האלסטית.

גוף 1 · הכתום, משמאל

מסה60 kg

מהירות8 m/s

מהירות חיובית: נע ימינה, לכיוון הגוף הכחול.

גוף 2 · הכחול, מימין

מסה20 kg

מהירות0 m/s

מהירות שלילית: נע שמאלה. אפס: עומד במקום.

▶ הפעלת ההתנגשות

מהירות גוף 1 אחרי

מהירות גוף 2 אחרי

אנרגיה לפני

אנרגיה אחרי

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←

מכניקה

התנגשות אלסטית