בניסוי שנערך על פני כוכב לכת דמיוני, נזרק גוף א' אופקית בכיוון ציר \( x \). התרשים מתאר את מקומו של גוף א' בזמנים \( t=0,1,2,3,4\ \mathrm{s} \): הנקודות הן \( (0,0),\ (3,1),\ (6,4),\ (9,9),\ (12,16) \) במטרים (ציר \( y \) מכוון כלפי מטה).
א. מהירות הזריקה ותאוצת הנפילה החופשית
(1) בציר האופקי אין כוח, ולכן המהירות האופקית קבועה. מהתרשים, בכל שנייה \( x \) גדל ב-\( 3\ \mathrm{m} \): \( 0\to3\to6\to9\to12 \). לכן:
(2) בציר האנכי הגוף בנפילה חופשית בלי מהירות אנכית התחלתית: \( y=\tfrac12 g t^2 \). מהתרשים, אחרי \( t=1\ \mathrm{s} \) הגוף ירד \( y=1\ \mathrm{m} \):
$$ 1 = \tfrac12 \cdot g \cdot 1^2 \quad\Rightarrow\quad g = 2\ \mathrm{m/s^2} $$
בדיקה עם שאר הנקודות: \( \tfrac12\cdot2\cdot2^2=4 \), \( \tfrac12\cdot2\cdot3^2=9 \), \( \tfrac12\cdot2\cdot4^2=16 \), בדיוק כמו בתרשים.
ב. מקומות הגופים ב' ו-ג'
גוף ב' נופל חופשית, בלי מהירות אופקית: \( x=0 \) תמיד. אנכית, אותה נפילה כמו גוף א': \( y=\tfrac12\cdot2\cdot t^2=t^2 \).
t (s)
0
1
2
3
x (m)
0
0
0
0
y (m)
0
1
4
9
גוף ג' נזרק אופקית במהירות כפולה, \( 2\cdot3=6\ \mathrm{m/s} \), ולכן \( x=6t \). אנכית, שוב \( y=t^2 \).
t (s)
0
1
2
3
x (m)
0
6
12
18
y (m)
0
1
4
9
בכל רגע שלושת הגופים באותו גובה: לכולם אותה תנועה אנכית, ורק המרחק האופקי שונה.
ג. כיוון הווקטור \( \Delta\vec v=\vec v_2-\vec v_1 \)
אחרי הזריקה פועל על הגוף רק כוח הכובד, כלפי מטה. אופקית אין כוח, ולכן הרכיב האופקי \( v_x \) זהה בשני הרגעים. אנכית, \( v_y=gt \) גדל בקצב \( g \).
דוגמה עם גוף א': \( v_x=3\ \mathrm{m/s} \) ו-\( v_y=2t \). ב-\( t_1=1\ \mathrm{s} \) וב-\( t_2=3\ \mathrm{s} \):
ההפרש מכיל רק רכיב אנכי, והוא חיובי (כלפי מטה, כי ציר \( y \) מכוון כלפי מטה). באופן כללי \( \Delta\vec v=g\,\Delta t \), ולכן הוא תמיד כלפי מטה, בכיוון כוח הכובד.
בגרות 1993 · שאלה 1
כוכב לכת דמיוני
גוף נזרק אופקית על כוכב לכת לא מוכר. מתוך תרשים המקומות נמצא את מהירות הזריקה ואת תאוצת הנפילה, נשרטט גופים נוספים, ונבין למה שינוי המהירות תמיד כלפי מטה.
זריקה אופקיתנפילה חופשיתקריאת תרשיםשינוי מהירות
הנתונים
מה רואים בתרשים?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: על כוכב לכת דמיוני זורקים את גוף א' אופקית בכיוון ציר x. התרשים מראה את מקומו בזמנים \(t=0,1,2,3,4\ \text{s}\). ציר y מכוון כלפי מטה. איזו תנועה זו?
1. הנקודות מסומנות כל שנייה: \((0,0),\ (3,1),\ (6,4),\ (9,9),\ (12,16)\).
2. הגוף נזרק אופקית, ולכן ברגע הזריקה אין לו מהירות אנכית.
זו זריקה אופקית: מהירות קבועה בציר x, ונפילה חופשית ממנוחה בציר y.
סעיף א (1)
מהירות הזריקה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: מצאו את גודל המהירות האופקית שבה נזרק גוף א'.
1. בציר x אין כוח, ולכן המהירות האופקית קבועה: בכל שנייה הגוף עובר אותו מרחק אופקי.
2. קוראים מהתרשים את ערכי x בכל שנייה:\(0\to3\to6\to9\to12\ \text{m}\)
בכל שנייה 3 מטר:\(v_0=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{3\ \text{m}}{1\ \text{s}}=3\ \text{m/s}\)
סעיף א (2)
תאוצת הנפילה החופשית
מההתחלההצג פתרון
שאלה: מצאו את תאוצת הנפילה החופשית על פני כוכב הלכת.
1. בציר y: נפילה חופשית בלי מהירות אנכית התחלתית:\(y=\tfrac12gt^2\)
2. מהתרשים: אחרי \(t=1\ \text{s}\) הגוף ירד \(y=1\ \text{m}\):\(1=\tfrac12\cdot g\cdot1^2\)
תאוצת הנפילה:\(g=2\ \text{m/s}^2\)
שימו לב: בדיקה עם שאר הנקודות: \(\tfrac12\cdot2\cdot2^2=4\), \(\tfrac12\cdot2\cdot3^2=9\), \(\tfrac12\cdot2\cdot4^2=16\). בדיוק כמו בתרשים.
סעיף ב
גופים ב' ו-ג'
מההתחלההצג פתרון
שאלה: מאותה נקודה ובאותו רגע, גוף ב' נופל חופשית, וגוף ג' נזרק אופקית במהירות כפולה מזו של גוף א'. היכן הם בזמנים \(t=0,1,2,3\ \text{s}\)?
1. גוף ב': אין לו מהירות אופקית, ולכן \(x=0\). אנכית, אותה נפילה כמו גוף א': \(y=\tfrac12\cdot2\cdot t^2=t^2\).
t (s)
0
1
2
3
x (m)
0
0
0
0
y (m)
0
1
4
9
2. גוף ג': מהירות כפולה, \(2\cdot3=6\ \text{m/s}\), ולכן \(x=6t\). אנכית, שוב \(y=t^2\).
t (s)
0
1
2
3
x (m)
0
6
12
18
y (m)
0
1
4
9
בכל רגע שלושת הגופים באותו גובה: לכולם אותה תנועה אנכית, ורק המרחק האופקי שונה.
הזיזו את המחוון כדי לשנות את הזמן
סעיף ג
כיוון שינוי המהירות
מההתחלההצג פתרון
שאלה: גוף נזרק אופקית. משווים את המהירות שלו בשני רגעים שונים. הסבירו מדוע שינוי המהירות מכוון תמיד כלפי מטה.
שינוי המהירות בין הרגע הראשון לרגע השני:\(\Delta\vec v=\vec v_2-\vec v_1\)
1. אחרי הזריקה פועל רק כוח הכובד, כלפי מטה. אופקית אין כוח, ולכן הרכיב האופקי לא משתנה:\(v_{1x}=v_{2x}=v_0\)
2. הרכיב האנכי גדל עם הזמן:\(v_{1y}=g\,t_1,\quad v_{2y}=g\,t_2\)
