בגרות – בעיטת פננקה

שחקן כדורגל בועט בכדור הנמצא במרחק \( d=11\ \mathrm{m} \) מקו השער, במהירות התחלתית \( v_0 \) בזווית \( \alpha \) מעל המגרש. הכדור נע במסלול פרבולי במישור שניצב לקו השער, ישר למרכז השער. גובה השער \( h=2.44\ \mathrm{m} \). התנגדות האוויר זניחה.

א. הרכיב האנכי של המהירות כפונקציה של הזמן

ברגע הבעיטה הרכיב האנכי חיובי, \( v_{0y}=v_0\sin\alpha \), כי הכדור עולה. התאוצה האנכית קבועה, \( -g \), ולכן הגרף הוא קו ישר יורד בשיפוע \( m=-g \):

$$ v_y = v_0\sin\alpha - gt $$

הקו חוצה את האפס בשיא המסלול וממשיך לערכים שליליים כשהכדור יורד.

ב. השוואה בין הנקודות P ו-Q

אין כוח אופקי, ולכן הרכיב האופקי של המהירות קבוע לאורך כל המסלול: \( v_{x,P}=v_{x,Q} \).

על הכדור פועל רק כוח הכובד, שקבוע בגודל ובכיוון, ולכן התאוצה זהה בכל נקודה: \( a_P=a_Q=g \), כלפי מטה. הגובה לא משנה אף אחד מהם.

ג. הכדור נכנס לשער

נתון \( v_0=11.5\ \mathrm{m/s} \), \( \alpha=55^\circ \). מפרקים לרכיבים:

$$ v_{0x}=11.5\cos55^\circ\approx6.60\ \mathrm{m/s},\qquad v_{0y}=11.5\sin55^\circ\approx9.42\ \mathrm{m/s} $$

הזמן להגיע לקו השער, מהציר האופקי:

$$ t=\frac{d}{v_{0x}}=\frac{11}{6.60}\approx1.67\ \mathrm{s} $$

הגובה באותו רגע, מהציר האנכי:

$$ y=9.42\times1.67-\tfrac12\times10\times1.67^2\approx1.80\ \mathrm{m} $$

הכדור בגובה \( 1.80\ \mathrm{m} \), בין הקרקע לרף (\( 2.44\ \mathrm{m} \)), ולכן הוא נכנס לשער.

ד. בעיטה במהירות גדולה יותר

משוואת המסלול: מציבים \( t=\frac{x}{v_0\cos\alpha} \) בגובה:

$$ y = x\tan\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} $$

בקו השער \( x=11\ \mathrm{m} \). ככל ש-\( v_0 \) גדל, האיבר שמחסירים קטן, ולכן הכדור גבוה יותר בקו השער. לכן הכדור לא נכנס בוודאות: אם המהירות גדולה מספיק, הוא עובר מעל הרף. מציבים \( y=2.44\ \mathrm{m} \) ומקבלים \( v_0\approx11.8\ \mathrm{m/s} \). מעל המהירות הזו הכדור עובר מעל הרף.