בגרות – שתי סירות

מכניקה קינמטיקה במימד אחד בגרות – שתי סירות

בתהליך

הגרף מתאר את מקומן של שתי סירות, א' ו-ב', כפונקציה של הזמן, כשהן נעות במסלולים ישרים מקבילים. שתי הסירות יוצאות מ-$ x=0 $ ברגע $ t=0 $, ולאחר $ 230\ \mathrm{s} $ שתיהן מגיעות ל-$ x=4\ \mathrm{km} $. מהגרף: מ-$ t=150\ \mathrm{s} $ עד $ t=230\ \mathrm{s} $ סירה ב' נעה בתאוצה קבועה.

א. הגדרת "מהירות ממוצעת"

מהירות ממוצעת מוגדרת כהעתק הכולל של הגוף, חלקי הזמן הכולל שחלף:

$$ \bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

היא תלויה רק בנקודת ההתחלה ובנקודת הסיום ובזמן הכולל - ולא בפרטי התנועה בדרך (המסלול המדויק, קטעי ההאצה וההאטה וכדומה).

ב. השוואת המהירויות הממוצעות של שתי הסירות

שתי הסירות יוצאות מאותה נקודה ($ x=0 $) באותו רגע, ולאחר אותו פרק זמן ($ 230\ \mathrm{s} $) שתיהן מגיעות לאותה נקודה ($ x=4\ \mathrm{km} $). מכיוון שהמהירות הממוצעת תלויה רק בהעתק הכולל ובזמן הכולל - שזהים עבור שתי הסירות - המהירות הממוצעת של סירה א' שווה למהירות הממוצעת של סירה ב', למרות שהמסלולים שלהן (הגרפים) שונים לגמרי בדרך.

ג. סימן התאוצה של סירה ב'

מהרגע $ t=150\ \mathrm{s} $ עד $ t=230\ \mathrm{s} $ גרף המקום-זמן של סירה ב' מעוקל כלפי מטה (משתטח בהדרגה) - כלומר השיפוע שלו, שהוא המהירות, הולך וקטן. לכן תאוצת סירה ב' באותו קטע שלילית.

ד. גודל תאוצת סירה ב' החל מהרגע t=150s

עד $ t=150\ \mathrm{s} $ סירה ב' נעה בקו ישר ממקום $ x=0 $ למקום $ x=3\ \mathrm{km} $, כלומר במהירות קבועה:

$$ v_0 = \frac{3000\ \mathrm{m}}{150\ \mathrm{s}} = 20\ \mathrm{m/s} $$

זוהי גם מהירותה של סירה ב' בכניסה לקטע התאוצה הקבועה, ב-$ t=150\ \mathrm{s} $. באותו קטע ($ \Delta t = 230-150=80\ \mathrm{s} $) היא עוברת מ-$ x=3\ \mathrm{km} $ ל-$ x=4\ \mathrm{km} $, כלומר $ \Delta x = 1000\ \mathrm{m} $. מציבים בנוסחת המיקום עם תאוצה קבועה:

$$ 1000 = 20\times80 + \tfrac12 a\times80^2 $$

$$ 1000 = 1600 + 3200a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1000-1600}{3200} = -0.1875\ \mathrm{m/s^2} $$

גודל התאוצה הוא כ-$ 0.19\ \mathrm{m/s^2} $ (שלילית, כפי שנקבע בסעיף ג').

ה. גרף המהירות של סירה ב'

מ-$ t=0 $ עד $ t=150\ \mathrm{s} $: קו ישר אופקי בגובה $ v=20\ \mathrm{m/s} $ (מהירות קבועה).

מ-$ t=150\ \mathrm{s} $ עד $ t=230\ \mathrm{s} $: קו ישר יורד (תאוצה קבועה ושלילית), מ-$ 20\ \mathrm{m/s} $ עד למהירות הסופית:

$$ v(230) = v_0+a\Delta t = 20+(-0.1875)\times80 = 5\ \mathrm{m/s} $$

המהירות הסופית שאליה מגיעה סירה ב' בתום 230 השניות היא $ 5\ \mathrm{m/s} $.

בדיקה: השטח מתחת לגרף המהירות הוא ההעתק. מלבן $ 20\times150=3000\ \mathrm{m} $ ועוד טרפז $ \frac{20+5}{2}\times80=1000\ \mathrm{m} $, ובסך הכול $ 4000\ \mathrm{m} $, בדיוק כמו בגרף המקום.

בגרות 2013 · שאלה 1

שתי סירות

שתי סירות יוצאות יחד ומגיעות יחד, אבל בדרכים שונות. נקרא את גרף המקום-זמן, נשווה מהירויות ממוצעות, נחשב תאוצה, ונשרטט את גרף המהירות.

גרף מקום-זמןמהירות ממוצעתתאוצהגרף מהירות

הנתונים

הגרף

מההתחלההצג פתרון

שאלה: הגרף מתאר את המקום של שתי סירות, א' ו-ב', כפונקציה של הזמן. הסירות נעות במסלולים ישרים מקבילים.

יציאה: שתי הסירות יוצאות מאותו מקום, באותו רגע.$t=0,\quad x=0$

הגעה: שתיהן מגיעות לאותו מקום, באותו רגע.$t=230\ \text{s},\quad x=4\ \text{km}$

סירה ב': מ-150 שניות ועד 230 שניות היא נעה בתאוצה קבועה.

סעיף א

מהירות ממוצעת

מההתחלההצג פתרון

שאלה: הגדירו את המושג "מהירות ממוצעת".

1. מהירות ממוצעת היא ההעתק הכולל חלקי הזמן הכולל:$\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

היא תלויה רק בנקודת ההתחלה, בנקודת הסיום ובזמן. לא במה שקרה בדרך.

סעיף ב

השוואת המהירויות הממוצעות

מההתחלההצג פתרון

שאלה: האם המהירות הממוצעת של סירה א' גדולה, קטנה או שווה למהירות הממוצעת של סירה ב', במשך 230 שניות?

1. מהגרף, לשתי הסירות אותו העתק ואותו זמן:$\Delta x=4000\ \text{m},\quad \Delta t=230\ \text{s}$

2. לכן לשתיהן אותה מהירות ממוצעת:$\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$\bar v=\frac{4000}{230}\approx17.4\ \text{m/s}$

המהירויות הממוצעות שוות, אף שהגרפים שונים לגמרי בדרך.

שימו לב: בגרף, המהירות הממוצעת היא השיפוע של הקו שמחבר את נקודת ההתחלה לנקודת הסיום. לשתי הסירות זה אותו קו.

סעיף ג

סימן התאוצה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: החל מ-150 שניות סירה ב' נעה בתאוצה קבועה. האם התאוצה חיובית או שלילית?

1. השיפוע של גרף מקום-זמן הוא המהירות.

2. מ-150 שניות הגרף של סירה ב' מתעקל ומשתטח. המשיק הולך ונעשה פחות תלול, כלומר המהירות קטנה.

המהירות קטנה, ולכן התאוצה שלילית.

סעיף ד

גודל התאוצה: קריאת הגרף

מההתחלההצג פתרון

שאלה: חשבו את גודל התאוצה של סירה ב' החל מ-150 שניות.

1. עד 150 שניות הגרף של סירה ב' ישר, כלומר מהירות קבועה. זו המהירות שבה היא נכנסת לקטע התאוצה:$v_0=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$v_0=\frac{3000}{150}=20\ \text{m/s}$

2. בקטע התאוצה, מהגרף:$\Delta t=230-150=80\ \text{s}$$\Delta x=4000-3000=1000\ \text{m}$

סעיף ד

גודל התאוצה: החישוב

מההתחלההצג פתרון

שאלה: חשבו את גודל התאוצה של סירה ב' החל מ-150 שניות.

1. משוואת המקום בתאוצה קבועה. מתחילים ב-150 שניות, במקום 3000 מטר:$x=x_0+v_0\,t+\tfrac12a\,t^2$$4000=3000+20\cdot80+\tfrac12a\cdot80^2$

2. מסדרים:$4000=3000+1600+3200a$$a=\frac{4000-3000-1600}{3200}=-0.1875\ \text{m/s}^2$

גודל התאוצה:$|a|\approx0.19\ \text{m/s}^2$

שימו לב: הסימן השלילי מתאים למה שמצאנו בסעיף ג.

סעיף ה

גרף המהירות של סירה ב'

מההתחלההצג פתרון

שאלה: שרטטו גרף של מהירות סירה ב' כפונקציה של הזמן, וציינו את המהירות הסופית.

1. עד 150 שניות המהירות קבועה. קו אופקי:$v=20\ \text{m/s}$

2. מ-150 עד 230 שניות התאוצה קבועה ושלילית. קו ישר יורד, עד המהירות הסופית:$v=v_0+a\,\Delta t$$v=20-0.1875\cdot80$

המהירות הסופית:$v=5\ \text{m/s}$

בדיקה: השטח מתחת לגרף המהירות הוא ההעתק.$\Delta x=20\cdot150+\frac{20+5}{2}\cdot80$$\Delta x=3000+1000=4000\ \text{m}$

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←

📄 בגרות 2013 שאלה 1