תלמיד מדד את מקומו של גוף הנע על קו ישר במרווחי זמן קבועים של \( 0.02\ \mathrm{s} \). ציר המקום \( x \) הוגדר בכיוון תנועת הגוף, וראשיתו במקום הימצאו של הגוף ברגע \( t=0 \) (כך ש-\( x(0)=0 \)). תוצאות המדידה:
t (s)
x (cm)
0.02
1.20
0.04
2.88
0.06
5.04
0.08
7.68
0.10
10.8
0.12
14.4
0.14
18.48
0.16
23.04
0.18
28.08
0.20
33.60
0.22
39.60
א. האם מהירות הגוף גדלה, קטנה, או אינה משתנה
ההפרשים בין מיקומים עוקבים (כל הפרש מייצג את המרחק שעבר הגוף באותו פרק זמן קבוע של \( 0.02\ \mathrm{s} \)) הולכים וגדלים לאורך הטבלה: \( 1.68,\ 2.16,\ 2.64,\ 3.12,\ 3.6,\dots \) ס"מ. מכיוון שבפרקי זמן שווים הגוף עובר מרחקים גדלים והולכים, מהירותו גדלה עם הזמן. גם הגרף (מקום כפונקציה של הזמן) תומך במסקנה זו: הוא נעשה תלול יותר ויותר ככל שמתקדמים בזמן.
ב. מהירות הגוף ברגע t=0.02s
אין מדידה ישירה של המהירות ברגע נתון, אך אפשר להעריך אותה מהמיקומים הסמוכים - לפני הרגע ואחריו - ולחשב את המהירות הממוצעת ביניהם, שמקרבת את המהירות הרגעית באמצע הקטע. לרגע \( t=0.02\ \mathrm{s} \) המיקומים הסמוכים הם \( x(0)=0 \) ו-\( x(0.04)=2.88\ \mathrm{cm} \):
ארבע הנקודות שבטבלה (\( 0.02,\ 0.72 \)), (\( 0.08,\ 1.44 \)), (\( 0.14,\ 2.16 \)), (\( 0.20,\ 2.88 \)) - יחדיו יוצרות קו ישר עולה: בכל צעד של \( 0.06\ \mathrm{s} \) המהירות גדלה באותו הפרש קבוע של \( 0.72\ \mathrm{m/s} \).
ה. האם התאוצה קבועה
בודקים את קצב השינוי של המהירות בין כל שתי נקודות עוקבות בטבלה:
קצב השינוי זהה בכל הקטעים, ולכן התאוצה קבועה, וגודלה \( 12\ \mathrm{m/s^2} \).
ו. השפעת היפוך כיוון ציר המקום על סימן התאוצה
כן, סימן התאוצה היה משתנה. היפוך כיוון ציר \( x \) הופך את הסימן של כל גודל וקטורי הנמדד לאורכו - המיקום, המהירות, וגם התאוצה (שהיא נגזרת שנייה של המיקום). מכיוון שבכיוון המקורי הגוף מאיץ (מהירותו ותאוצתו באותו כיוון), הפיכת ציר המקום הייתה הופכת גם את סימן המהירות וגם את סימן התאוצה יחד, כך שהתאוצה הייתה יוצאת שלילית במקום חיובית (או להפך).
בגרות 1995 · שאלה 1
טבלת מיקום-זמן
תלמיד מדד את מקומו של גוף כל 0.02 שניות. מהטבלה נמצא איך משתנה המהירות, נחשב מהירויות רגעיות, נשרטט גרף מהירות ונמצא את התאוצה.
טבלת מדידותמהירות רגעיתגרף מהירותתאוצה
הנתונים
הניסוי
מההתחלההצג פתרון
שאלה: תלמיד רשם את מקומו של גוף שנע על קו ישר, כל 0.02 שניות. ברגע הראשון המהירות לא אפס. ציר המקום בכיוון התנועה, והראשית במקום של הגוף ברגע אפס.
סעיף א
האם המהירות משתנה?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: לפי הגרף, האם מהירות הגוף גדלה, קטנה או לא משתנה?
1. השיפוע של גרף מקום-זמן הוא המהירות.
2. הגרף נעשה תלול יותר ככל שהזמן עובר. המשיק בהתחלה פחות תלול מהמשיק בסוף.
המהירות גדלה.
רואים את זה גם בטבלה: בכל 0.02 שניות הגוף עובר מרחק גדול יותר.\(\Delta x:\ 1.20,\ 1.68,\ 2.16,\ 2.64,\ \dots\ \text{cm}\)
סעיף ב
המהירות ב-0.02 שניות
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חשבו את מהירות הגוף ברגע 0.02 שניות, ביחידות m/s.
1. אין לנו מדידה של מהירות רגעית. מעריכים אותה בעזרת המהירות הממוצעת בקטע שהרגע נמצא בדיוק באמצעו:\(v(t)\approx\frac{x(t+\Delta t)-x(t-\Delta t)}{2\Delta t}\)
2. סביב 0.02 שניות, הנקודות הסמוכות הן 0 ו-0.04 שניות:\(v(0.02)\approx\frac{x(0.04)-x(0)}{0.04-0}\)\(v(0.02)\approx\frac{2.88-0}{0.04}=72\ \text{cm/s}\)
המהירות:\(v(0.02)\approx0.72\ \text{m/s}\)
שימו לב: בתאוצה קבועה, המהירות הממוצעת בקטע שווה בדיוק למהירות ברגע שבאמצע הקטע.
סעיף ג
טבלת מהירויות
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חשבו את המהירויות ברגעים 0.08, 0.14 ו-0.20 שניות, ורשמו אותן בטבלה.
1. סביב 0.08 שניות:\(v(0.08)\approx\frac{10.8-5.04}{0.04}=144\ \text{cm/s}=1.44\ \text{m/s}\)
2. סביב 0.14 שניות:\(v(0.14)\approx\frac{23.04-14.4}{0.04}=216\ \text{cm/s}=2.16\ \text{m/s}\)
3. סביב 0.20 שניות:\(v(0.20)\approx\frac{39.60-28.08}{0.04}=288\ \text{cm/s}=2.88\ \text{m/s}\)
הטבלה:
\(t\ (\text{s})\)
\(v\ (\text{m/s})\)
\(0.02\)
\(0.72\)
\(0.08\)
\(1.44\)
\(0.14\)
\(2.16\)
\(0.20\)
\(2.88\)
סעיף ד
גרף המהירות
מההתחלההצג פתרון
שאלה: שרטטו גרף של מהירות הגוף כפונקציה של הזמן.
1. מסמנים את ארבע הנקודות מהטבלה של סעיף ג.
הנקודות נמצאות על קו ישר עולה. מעבירים דרכן קו ישר.
שימו לב: הקו לא עובר בראשית: ברגע אפס המהירות לא אפס, כמו שנאמר בשאלה.
סעיף ה
האם התאוצה קבועה?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: האם תאוצת הגוף קבועה? אם כן, חשבו את גודלה.
1. התאוצה היא השיפוע של גרף המהירות:\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
2. בודקים כל זוג נקודות סמוכות:\(\frac{1.44-0.72}{0.08-0.02}=\frac{2.16-1.44}{0.14-0.08}=\frac{2.88-2.16}{0.20-0.14}\)\(=\frac{0.72}{0.06}=12\)
כן. השיפוע זהה בכל הקטעים, ולכן התאוצה קבועה:\(a=12\ \text{m/s}^2\)
סעיף ו
ציר בכיוון ההפוך
מההתחלההצג פתרון
שאלה: אילו התלמיד היה מגדיר את ציר המקום בכיוון מנוגד לתנועה, האם סימן התאוצה היה שונה?
1. עם ציר הפוך, הגוף נע בכיוון השלילי. המהירות שלילית.
2. גודל המהירות עדיין גדל, ולכן המהירות נעשית שלילית יותר ויותר. היא יורדת.
3. התאוצה היא קצב השינוי של המהירות. המהירות יורדת, ולכן:\(a=-12\ \text{m/s}^2\)
כן. סימן התאוצה היה הופך לשלילי. הסימן של גודל וקטורי תלוי בבחירת כיוון הציר.
שימו לב: הגוף עדיין מאיץ: המהירות והתאוצה באותו כיוון.
סיכום
מה למדנו מהשאלה
שיפוע גרף מקוםמהירות
מהירות רגעיתממוצעת סביב הרגע
מהירויות\(0.72,\ 1.44,\ 2.16,\ 2.88\ \text{m/s}\)
תאוצה\(12\ \text{m/s}^2\)
ציר הפוך\(a=-12\ \text{m/s}^2\)
טעויות נפוצות
לחלק מקום בזמן כדי לקבל מהירות רגעית. צריך מהירות ממוצעת בקטע קצר סביב הרגע.
לשכוח להמיר יחידות. המקום בסנטימטרים, והמהירות נשאלת במטר לשנייה.
לחשוב שתאוצה שלילית פירושה האטה. הסימן תלוי בכיוון הציר.
