בגרות – מדרון וכוח חיצוני

פתרון: בגרות קיץ תשע"ח 2018, מכניקה (שאלון 036201+656), שאלה 2

גוף \( m_1 \) על מדרון חלק בזווית \( \alpha \), קשור בחוט שעובר דרך גלגלת בראש המדרון לגוף תלוי \( m_2 \). על \( m_1 \) מופעל כוח קבוע F במורד המדרון (הכיוון החיובי), ו-\( m_1 \) נע במורד המדרון.

א. תרשימי כוחות

• גוף \( m_1 \): המשקל \( m_1 g \) (כלפי מטה), הכוח הנורמלי N (מאונך למדרון, כלפי חוץ), מתיחות החוט T (במעלה המדרון, לכיוון הגלגלת), והכוח F (במורד המדרון).
• גוף \( m_2 \): המשקל \( m_2 g \) כלפי מטה, ומתיחות החוט T כלפי מעלה.

ב. ביטוי לינארי לתאוצה כפונקציה של F

משוואות \( m_1 \) בצבע כחול, ומשוואות \( m_2 \) בצבע כתום. \( m_1 \) נע במורד המדרון ו-\( m_2 \) עולה, באותה תאוצה a.

$$ {\color[RGB]{31,111,178}{F + m_1 g \sin\alpha - T = m_1 a}} $$

$$ {\color[RGB]{232,130,58}{T - m_2 g = m_2 a}} $$

מחברים את המשוואות ומבודדים את a:

$$ a = \frac{1}{m_1 + m_2}\,F + \frac{(m_1 \sin\alpha - m_2)\,g}{m_1 + m_2} $$

זה ביטוי מהצורה \( y = Ax + B \), עם:

$$ A = \frac{1}{m_1 + m_2}, \qquad B = \frac{(m_1 \sin\alpha - m_2)\,g}{m_1 + m_2} $$

ג. גרף a כפונקציה של F

משרטטים את חמש הנקודות מהטבלה ומעבירים קו מגמה ישר (ראו הגרף למטה).

ד. המסה m

לוקחים שתי נקודות על קו המגמה: \( (20,\ 2.8) \) ו-\( (60,\ 12) \).

$$ A = \frac{12 - 2.8}{60 - 20} = \frac{9.2}{40} = 0.23\ \mathrm{kg^{-1}} $$

כאשר \( m_1 = m_2 = m \), השיפוע הוא \( A = \frac{1}{2m} \):

$$ \frac{1}{2m} = 0.23 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{1}{2 \cdot 0.23} \approx 2.2\ \mathrm{kg} $$

ה. הכוח שעבורו התנועה קצובה

בתנועה קצובה המהירות קבועה, ולכן התאוצה אפס. בגרף זו הנקודה שבה קו המגמה (בהמשכו) חותך את ציר F. משוואת הקו היא בקירוב \( a = 0.23F - 1.8 \), ולכן:

$$ 0 = 0.23F - 1.8 \quad\Longrightarrow\quad F \approx 8\ \mathrm{N} $$

בכוח של כ-8 ניוטון הכוח השקול על המערכת מתאפס, והמערכת נעה במהירות קבועה.

המשך הקו (מקווקו) חותך את ציר F ב-F≈8 N: שם התאוצה אפס והמערכת נעה במהירות קבועה.