התנגדות של חצי מעגל

התנגדות של קשת (חצי מעגל)

מוליך בצורת קשת (למשל, חצי מעגל ברדיוס R) הוא דוגמה נוספת ליישום האינטגרל לחישוב התנגדות, כאשר "אורך המוליך" אינו קו ישר אלא מסלול מעוקל.

שלב 1 - ביטוי אורך קטע אינפיניטסימלי

לאורך קשת ברדיוס R, קטע אינפיניטסימלי (dl) לאורך המסלול, המתאים לזווית \( d\theta \), נתון על ידי:

$$ dl = R\,d\theta $$

שלב 2 - הצבה בנוסחת ההתנגדות האינטגרלית

הצבת ביטוי זה בנוסחת ההתנגדות הכללית (\( R_{total}=\int \rho\frac{dl}{s} \)) נותנת:

$$ R_{total} = \int_0^{\theta_{max}} \rho\frac{R\,d\theta}{s} = \frac{\rho R}{s}\int_0^{\theta_{max}} d\theta = \frac{\rho R\,\theta_{max}}{s} $$

עבור חצי מעגל, \( \theta_{max}=\pi \), ולכן:

$$ R_{total} = \frac{\rho R\pi}{s} $$

נקודת מפתח

שימו לב שגם כאשר \( \rho \) ו-s קבועים (אחידים) לאורך כל הקשת, עדיין יש צורך באינטגרציה - לא מכיוון שהתכונות החומריות משתנות, אלא מכיוון שהצורה הגיאומטרית עצמה (מסלול מעוקל, לא ישר) מחייבת ביטוי אינפיניטסימלי לאורך (\( dl=Rd\theta \)) במקום פשוט L. במקרה כזה, לאחר ההצבה, ה-\( \rho \) וה-s הקבועים יוצאים מחוץ לאינטגרל, והאינטגרל עצמו הופך פשוט מאוד (אינטגרל של \( d\theta \) בלבד).