דיברגנץ

דיברגנץ - מחישוב שדה לחישוב מטען

פעולת הדיברגנץ מחשבת בעזרת התפלגות השדה החשמלי במרחב את צפיפות המטען במרחב (שיצרה את אותו שדה). להבנה אינטואיטיבית של הפעולה נזכר בדרך הפעולה ההפוכה:

למדנו את נוסחת המעבר מהתפלגות מטען להתפלגות שדה (בקואורדינטות כדוריות בדוגמא הבאה):

$$ E_{(r)}=\frac{1}{r^2}\int\rho_{(r)}\cdot r^2dr $$

לכן, לחישוב התפלגות המטען לפי השדה, נבודד את הנעלם כך:

נכפול את שני האגפים במרחק בריבוע ונקבל

$$ r^2\cdot E_{(r)}=\int\rho_{(r)}\cdot r^2dr $$

נגזור (לפי מיקום) את שני האגפים ונקבל

$$ \frac{d(r^2\cdot E_{(r)})}{dr}=\rho_{(r)}\cdot r^2 $$

ונחלק במרחק בריבוע לקבלת נוסחת הדיברגנץ:

$$ \frac{1}{r^2}\frac{d(r^2\cdot E_{(r)})}{dr}=\rho_{(r)} $$

בנוסף נכיר, כי את פעולת הדיברגנץ נהוג לרשום בעזרת האופרטור נבלה (משולש הפוך) עם נקודה אחריו:

$$ \frac{1}{r^2}\frac{d(r^2\cdot E_{(r)})}{dr}=\nabla\cdot E $$