בגרות – חלקיק בין לוחות קבל וחיבור שני קבלים

קבל \( C_1 \) מורכב משני לוחות מוליכים מקבילים מרובעים, שהמרחק ביניהם \( d=15\ \mathrm{mm}=0.015\ \mathrm{m} \). ריק שורר ביניהם. המטען שעל הלוח התחתון \( Q=1.3\ \mathrm{nC}=1.3\times10^{-9}\ \mathrm{C} \). בניסוי ראשון הקבל מחובר למקור מתח \( V \). שתי נקודות M ו-N בתוך המרחב שבין הלוחות, המרחק האנכי ביניהן \( 6\ \mathrm{mm}=0.006\ \mathrm{m} \), והערך המוחלט של הפרש הפוטנציאלים ביניהן \( 88\ \mathrm{V} \).

א. קיבול הקבל C₁ ושטח הלוחות

(1) השדה בין הלוחות אחיד. מוצאים אותו מהפרש הפוטנציאלים בין שתי הנקודות הידועות:

$$ E = \frac{88}{0.006} = 14{,}666.7\ \mathrm{V/m} $$

המתח הכולל בין הלוחות (על פני כל המרחק \( d \)):

$$ V = E\cdot d = 14{,}666.7\times0.015 = 220\ \mathrm{V} $$

הקיבול:

$$ C_1 = \frac{Q}{V} = \frac{1.3\times10^{-9}}{220} \approx 5.91\times10^{-12}\ \mathrm{F} $$

(2) משתמשים בנוסחת קיבול לקבל לוחות, \( C=\varepsilon_0 A/d \), ומבודדים את \( A \):

$$ A = \frac{C_1\cdot d}{\varepsilon_0} = \frac{5.91\times10^{-12}\times0.015}{8.85\times10^{-12}} \approx 0.01\ \mathrm{m^2} = 100\ \mathrm{cm^2} $$

ב. המהירות המינימלית של חלקיק החוצה את הקבל

חלקיק (\( m=6.64\times10^{-27}\ \mathrm{kg} \), \( q=+3.2\times10^{-19}\ \mathrm{C} \)) נכנס בקרבת הלוח התחתון בתנועה אנכית כלפי מעלה, ונע כלפי הלוח העליון. מוצאים את המהירות המינימלית שבעבורה יגיע החלקיק בדיוק ללוח העליון, לפי שימור אנרגיה (השדה החשמלי הוא שדה משמר):

$$ \tfrac12 m v_0^2 = qV $$

$$ v_0 = \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \sqrt{\frac{2\times3.2\times10^{-19}\times220}{6.64\times10^{-27}}} \approx 145.6\times10^3\ \mathrm{m/s} $$

ג. מקרבים את לוחות הקבל זה לזה

(1) הקבל נשאר מחובר למקור המתח: המהירות המינימלית לא תשתנה. כאשר הקבל מחובר למקור המתח, המתח בין הלוחות נותר קבוע (\( V=220\ \mathrm{V} \) כל הזמן) - ולפי הביטוי מסעיף ב', שתלוי רק ב-\( V \) (לא ב-\( d \) בנפרד), המהירות המינימלית אינה משתנה.

(2) מנתקים את הקבל ממקור המתח (לפני קירוב הלוחות): המהירות המינימלית תקטן. כאשר המקור מנותק, המטען על הלוחות נשאר קבוע - ולכן השדה שבין הלוחות (התלוי רק בצפיפות המטען, \( E=Q/(\varepsilon_0 A) \)) נשאר קבוע גם הוא. מכיוון שהמתח \( V=E\cdot d \), הקטנת המרחק \( d \) (בעוד \( E \) קבוע) מקטינה את המתח - ולפי הביטוי מסעיף ב', המהירות המינימלית תקטן בהתאם.

ד. חיבור קבל שני C₂ - שני אופני חיבור

מוסיפים קבל \( C_2 \), שקיבולו שווה למחצית מקיבול \( C_1 \) (לפי אותה נוסחת קיבול לקבל לוחות, עם שטח לוח שהוא מחצית):

$$ C_2 = \frac{C_1}{2} $$

חיבור טורי (תרשים 2א): בחיבור טורי, המטען על שני הקבלים זהה, וסכום המתחים שווה למתח המקור. הקיבול השקול:

$$ C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2} = \frac{C_1\times\frac{C_1}{2}}{C_1+\frac{C_1}{2}} = \frac{C_1}{3} $$

המטען על \( C_1 \) (זהה למטען על \( C_2 \), בחיבור טורי):

$$ Q = C_{eq}\cdot V = \frac{C_1}{3}\times220 \approx 0.43\times10^{-9}\ \mathrm{C} $$

חיבור מקבילי (תרשים 2ב): בחיבור זה, \( C_1 \) עצמו מחובר ישירות למקור המתח \( V \) (כמו בתחילת השאלה) - ולכן המתח על \( C_1 \) זהה למתח שחישבנו בתחילת השאלה, והמטען עליו זהה למטענו המקורי:

$$ Q = 1.3\times10^{-9}\ \mathrm{C} $$

ה. מדוע המטען על C₁ בחיבור המקבילי אינו משתנה

גודל המטען \( Q \) על הקבל \( C_1 \) לא השתנה, מפני שכדי שתהיה זרימת מטענים נדרש הפרש פוטנציאלים. מכיוון שהקבלים חוברו במקביל לאותו מקור מתח, הפרש הפוטנציאלים על כל אחד מהם (\( C_1 \) בפרט) נותר זהה למה שהיה קודם - ולכן אין סיבה למטען על \( C_1 \) להשתנות.