בגרות – נקודה בין שני מטענים

שני חלקיקים, 1 ו-2, מוחזקים בהתאמה בקודקודים \( A \) ו-\( B \) של משולש שווה צלעות \( ABC \) שאורך צלעו \( 0.6\ \mathrm{m} \). שני החלקיקים טעונים במטענים שווים \( q_1=q_2=+40\times10^{-9}\ \mathrm{C} \). רמת האפס של הפוטנציאל נקבעת באין-סוף.

א. השדה החשמלי השקול בנקודה C

המרחק מכל אחד משני המטענים לנקודה \( C \) שווה לאורך צלע המשולש:

$$ E_1=E_2=k\frac{q}{r^2}=\frac{9\times10^9\times40\times10^{-9}}{0.6^2}=1000\ \mathrm{N/C} $$

שני השדות שווים בגודלם, וכל אחד מכוון החוצה מהמטען היוצר אותו (מטענים חיוביים). בגלל הסימטריה של המשולש שווה הצלעות, הזווית בין שני וקטורי השדה היא \( 60^\circ \). מחברים וקטורית:

$$ E=\sqrt{E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos60^\circ}=\sqrt{1000^2+1000^2+1000^2}=1000\sqrt3\approx1732\ \mathrm{N/C} $$

מכיוון ששני השדות שווים בגודלם, השקול שלהם מכוון לאורך קו הסימטריה של המשולש - כלומר בכיוון האנך מ-\( AB \) דרך \( C \), כלפי חוץ (מעלה, בהמשך גובה המשולש).

ב. הפוטנציאל החשמלי הכולל בנקודה C

הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, ולכן מחברים את שתי התרומות ישירות, ללא צורך בפירוק לרכיבים:

$$ V_1=V_2=k\frac{q}{r}=\frac{9\times10^9\times40\times10^{-9}}{0.6}=600\ \mathrm{V} $$

$$ V_{total}=V_1+V_2=1200\ \mathrm{V} $$

ג. האם קיימת נקודה שבה הפוטנציאל אפס והשדה שונה מאפס

לא. שני המטענים חיוביים, ולכן כל אחד מהם תורם בכל נקודה סופית במרחב פוטנציאל חיובי (\( V=kq/r>0 \) כאשר \( q>0 \) ו-\( r \) סופי). סכום של שני גדלים חיוביים אינו יכול להתאפס בשום נקודה סופית - הפוטנציאל הכולל מתאפס רק באין-סוף, ושם גם השדה מתאפס. לכן אין נקודה סופית שבה הפוטנציאל אפס והשדה שונה מאפס.

ד. גרף השדה החשמלי כפונקציה של x

השדה הוא מינוס שיפוע גרף הפוטנציאל, \( E=-\dfrac{dV}{dx} \). קוראים את השיפוע בכל קטע בגרף \( V(x) \) הנתון:

• מ-\( x=0 \) עד \( x=2\ \mathrm{cm} \): השיפוע \( \dfrac{6-0}{2}=3\ \mathrm{V/cm}=300\ \mathrm{V/m} \), ולכן \( E=-300\ \mathrm{V/m} \) (קבוע, בכיוון השלילי).
• מ-\( x=2\ \mathrm{cm} \) עד \( x=4\ \mathrm{cm} \): הפוטנציאל קבוע (שיפוע אפס), ולכן \( E=0 \).
• מ-\( x=4\ \mathrm{cm} \) עד \( x=8\ \mathrm{cm} \): השיפוע \( \dfrac{0-6}{8-4}=-1.5\ \mathrm{V/cm}=-150\ \mathrm{V/m} \), ולכן \( E=+150\ \mathrm{V/m} \) (קבוע, בכיוון החיובי).

הגרף המבוקש הוא גרף מדורג: קו אופקי בגובה \( -300\ \mathrm{V/m} \) בקטע הראשון, קפיצה לאפס בקטע האמצעי, וקפיצה לקו אופקי בגובה \( +150\ \mathrm{V/m} \) בקטע האחרון.

ה. כיוון תנועת החלקיק q₃

הנקודה \( K \) נמצאת ב-\( x_K=6\ \mathrm{cm} \), בתוך הקטע \( 4\ \mathrm{cm}

$$ \vec{F}=q_3\vec{E} $$

לכן החלקיק מתחיל לנוע בכיוון השלילי של ציר \( x \).

ו. מסת החלקיק q₃

גודל הכוח על החלקיק:

$$ F=|q_3|\cdot E=40\times10^{-6}\times150=6\times10^{-3}\ \mathrm{N} $$

מהחוק השני של ניוטון:

$$ m=\frac{F}{a}=\frac{6\times10^{-3}}{2}=3\times10^{-3}\ \mathrm{kg}=3\ \mathrm{gr} $$