בגרות – לוח אינסופי
מערכת מורכבת ממטען נקודתי \( Q \) חיובי, הנח במנוחה בראשית הצירים, ולוחו אינסופי טעון בצפיפות מטען שטחית חיובית ואחידה \( \sigma \), הממוקם במישור \( yz \) במרחק \( d/2 \) מראשית הצירים. חלקיק נקודתי טעון נע לאורך ציר \( x \), תחת השפעת שני השדות. יש להתעלם מהשפעת כוח הכבידה בשאלה זו.
א. עוצמת השדה החשמלי E(x) לאורך ציר x
השדה השקול הוא סכום תרומת המטען הנקודתי (התלויה במרחק, לפי חוק קולון) ותרומת הלוח האינסופי (קבועה, בלתי-תלויה במרחק):
$$ E(x) = \frac{kQ}{x^2} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $$
ב. גודל צפיפות המטען σ וגודל המטען Q
(1) מהגרף הנתון, ככל ש-\( x \) גדל, התרומה מהמטען הנקודתי (\( kQ/x^2 \)) שואפת לאפס, והשדה שואף לערך קבוע השווה לתרומת הלוח בלבד:
$$ \lim_{x\to\infty} E(x) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $$
קוראים ערך זה מהגרף (השדה בנקודות רחוקות), ומחלצים ממנו את \( \sigma \).
(2) מציבים את שתי הנקודות הנתונות בגרף במשוואת \( E(x) \) שבסעיף א', ופותרים מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים (\( Q \) ו-\( \sigma \)) - מתקבל:
$$ Q \approx 203\ \mathrm{nC} $$
ג. סוג התנועה של החלקיק במרחקים גדולים
ההיגד הנכון: התנועה שוות-תאוצה בקירוב.
במרחק גדול מהמערכת, עוצמת השדה שמקורה במטען הנקודתי דועכת לאפס, ועוצמת השדה שמקורה בלוח האינסופי נותרת קבועה. לכן גודל השדה החשמלי השקול שואף לערך קבוע, הכוח החשמלי הפועל על החלקיק שואף לערך קבוע, ולפי החוק השני של ניוטון - גם גודל התאוצה שואף להיות קבוע. לכן תנועת החלקיק במרחקים גדולים היא תנועה שוות-תאוצה בקירוב.
ד. הפרש הפוטנציאלים בין x=d ל-x=2d
מפרידים בין תרומת שני המקורות ומחשבים כל אחת בנפרד.
תרומת המטען הנקודתי:
$$ \Delta V_{point} = \frac{kQ}{d} - \frac{kQ}{2d} \approx 228.4\ \mathrm{V} $$
תרומת הלוח האינסופי (שדה קבוע \( \sigma/2\varepsilon_0 \), ולכן הפרש הפוטנציאל לינארי במרחק, \( \Delta V=E\cdot\Delta x \)):
$$ \Delta V_{plate} \approx 6785.8\ \mathrm{V} $$
סך הפרש הפוטנציאלים בין שתי הנקודות:
$$ \Delta V_{d,2d} = \Delta V_{point} + \Delta V_{plate} \approx 7014.2\ \mathrm{V} $$
ה. האם הפרש הפוטנציאלים משתנה כאשר מזיזים את הלוח ל-x=2d
הפרש הפוטנציאלים בין שתי הנקודות (הנמצאות במרחק קבוע זו מזו) אינו משתנה. הסיבה: השדה שיוצר הלוח האינסופי הוא שדה אחיד, שאינו תלוי במרחק מהלוח. לכן העבודה של שדה הלוח בהעברת מטען לאורך העתק נתון תלויה רק בגודל ההעתק, ולא במיקום הלוח עצמו - ולכן הפרש הפוטנציאלים בין שתי הנקודות זהה, ללא תלות במיקום הלוח.