ספירה טעונה בתוך קליפה מוארקת
ספירה טעונה בתוך קליפה מוארקת
מערכת נפוצה: ספירה קטנה (או כדור) בעלת מטען Q, ממוקמת במרכזה של קליפה מוליכה כדורית גדולה יותר, המחוברת להארקה. יש לנתח את התפלגות המטענים, השדה, והפוטנציאל בכל אזורי המערכת.
שלב 1 - אינדוקציה על הקליפה
נוכחות הספירה הטעונה (Q) גורמת להתפלגות מטען באינדוקציה על הקליפה המוליכה: על פני השטח הפנימי של הקליפה נאסף מטען השווה בגודלו ומנוגד בסימנו לזה של הספירה (\( -Q \)) - כך שהשדה בתוך חומר המוליך עצמו (בין פני השטח הפנימי לחיצוני) יהיה אפס, כנדרש בכל מוליך במצב סטטי.
שלב 2 - תפקיד ההארקה
מכיוון שהקליפה מחוברת להארקה, פוטנציאל הקליפה קבוע ושווה לאפס (או לפוטנציאל הקרקע, המוגדר לרוב כאפס). ההארקה "מספקת" בדיוק את המטען הדרוש כדי לשמור על תנאי זה - כלומר, המטען הכולל על פני השטח החיצוני של הקליפה יהיה אפס (בניגוד למצב ללא הארקה, שבו המטען החיצוני היה שווה ל-\( +Q \), כדי לשמר את המטען הכולל של המערכת המבודדת).
שלב 3 - השדה בכל אזור
- בתוך הספירה הפנימית - תלוי בהתפלגות המטען שלה (אם אחידה, השדה גדל ליניארית מהמרכז).
- בין הספירה לקליפה (בחלל הריק) - שדה של מטען נקודתי אפקטיבי Q, לפי חוק קולון/גאוס.
- בתוך חומר הקליפה המוליכה - אפס (תמיד, בכל מוליך במצב סטטי).
- מחוץ לקליפה - אפס! מכיוון שהמטען הכולל הכלוא בתוך כל מעטפת גאוס מחוץ לקליפה הוא אפס (Q מהספירה, \( -Q \) מפני השטח הפנימי, ו-0 מפני השטח החיצוני בזכות ההארקה).
שלב 4 - הפוטנציאל בכל אזור
הפוטנציאל מחושב באינטגרציה של השדה מהאינסוף (או מנקודת הייחוס) פנימה. מכיוון שהשדה מחוץ לקליפה אפס, הפוטנציאל שם קבוע ושווה לפוטנציאל הקליפה עצמה - שהוא אפס (בזכות ההארקה). מתוך הקליפה כלפי פנים, הפוטנציאל משתנה לפי השדה הקיים בכל אזור, עד למרכז.
נקודת מפתח
ההשוואה בין המקרה המוארק למקרה הבלתי-מוארק (הקליפה מבודדת, ללא הארקה) ממחישה את תפקיד ההארקה: היא "מנתקת" את השפעת המטען הפנימי מהעולם החיצון לקליפה - כל מי שנמצא מחוץ לקליפה המוארקת "לא יודע" בכלל שיש מטען בפנים, בעוד שבמקרה הבלתי-מוארק, השדה והפוטנציאל מחוץ לקליפה עדיין מושפעים ממנו (כאילו כל המטען Q מרוכז במרכז).