מהיכן מגיעה הנוסחה לפוטנציאל

תזכורת - הקשר המתמטי בין שדה לפוטנציאל

עד עכשיו פשוט זכרנו את הנוסחה \( \varphi=kQ/r \) מדף הנוסחות. עכשיו נראה מאיפה היא מגיעה. הרעיון דומה למעבר מכוח לאנרגיה: בדיוק כפי שעבודה היא אינטגרל של כוח על הדרך (\( W=\int F\,dx \)), כך גם המעבר משדה לפוטנציאל הוא אינטגרל של השדה על הדרך, עם מינוס:

$$ \varphi = -\int E\,dr $$

המינוס נובע מכך שכדי להעלות רמת אנרגיה צריך ללכת נגד כיוון הכוח (נגד כיוון השדה). והכיוון ההפוך - הנגזרת של הפוטנציאל נותנת בחזרה את השדה (עם מינוס):

$$ E = -\frac{d\varphi}{dr} $$

מטרת הפעולה הזו: לקחת גודל וקטורי (שדה, על דרך שהיא עצמה וקטורית) ולהפוך אותו לגודל סקלרי (פוטנציאל) - בדיוק כמו שהאינטגרל בעבודה־אנרגיה הופך כוח לאנרגיה.

גזירת הנוסחה \( \varphi=kQ/r \) עבור מטען נקודתי

השדה שיוצר מטען נקודתי \( Q \) במרחק \( r \) ידוע:

$$ E(r) = k\frac{Q}{r^2} $$

מציבים באינטגרל, עם מינוס:

$$ \varphi(r) = -\int E\,dr = -\int k\frac{Q}{r^2}\,dr = -kQ\int r^{-2}\,dr $$

האינטגרל של \( r^{-2} \) הוא \( -r^{-1} \), כלומר \( -1/r \):

$$ \varphi(r) = -kQ\left(-\frac{1}{r}\right) = k\frac{Q}{r} $$

וזו בדיוק הנוסחה שהכרנו מדף הנוסחות. (נקודת הייחוס: הפוטנציאל מוגדר כאפס באינסוף, כמו שראינו בגרף - שם ה"קבוע אינטגרציה" מתאפס.)

המשמעות הגרפית

אם יש גרף של פוטנציאל כתלות במרחק - השיפוע שלו (עם מינוס) נותן את השדה. אם יש גרף של שדה כתלות במרחק - השטח שמתחתיו (עם מינוס) נותן את הפוטנציאל.