בגרות – שלושה מטענים במשולש
קליפה כדורית מוליכה, טעונה במטען חיובי \( Q \), שרדיוסה \( R=30\ \mathrm{cm} \) והפוטנציאל על פניה \( 90{,}000\ \mathrm{V} \) (רמת האפס באין-סוף). נקודה \( O \) היא מרכז הכדור. נקודה \( P \) נמצאת במרחק \( 12\ \mathrm{cm} \) משמאל למרכז (בתוך הקליפה). נקודה \( A \) נמצאת על הקו שערכו \( 50{,}000\ \mathrm{V} \), ונקודה \( B \) על הקו שערכו \( 40{,}000\ \mathrm{V} \).
א. המרחק AO
מחוץ לקליפה הטעונה, הפוטנציאל מתנהג בדיוק כמו של מטען נקודתי במרכז: \( V(r)=kQ/r \), כלומר \( V \) ביחס הפוך למרחק. משווים בין הרדיוס לנקודה \( A \):
$$ \frac{V(R)}{V(A)}=\frac{OA}{R} \quad\Rightarrow\quad OA=R\cdot\frac{V(R)}{V(A)}=0.3\times\frac{90{,}000}{50{,}000}=0.54\ \mathrm{m}=54\ \mathrm{cm} $$
ב. השדה החשמלי בנקודה A
מכיוון ש-\( V=kQ/r \) ו-\( E=kQ/r^2 \), מתקיים \( E=V/r \):
$$ E_A=\frac{V(A)}{OA}=\frac{50{,}000}{0.54}\approx9.26\times10^4\ \mathrm{V/m} $$
הכיוון: רדיאלית החוצה מהקליפה (מ-\( O \) דרך \( A \) והלאה), שכן המטען היוצר את השדה חיובי.
ג. השדה והפוטנציאל בנקודה P
(1) נקודה \( P \) נמצאת בתוך הקליפה המוליכה. בכל מוליך במצב סטטי השדה החשמלי בפנים הוא אפס, ולכן \( E_P=0 \).
(2) מכיוון שאין שדה בתוך הקליפה, אין שינוי בפוטנציאל מפני הקליפה ועד לכל נקודה בפנים - הפוטנציאל בתוך הקליפה קבוע ושווה לפוטנציאל על פניה: \( V_P=90{,}000\ \mathrm{V} \).
ד. גודל המהירות של גוף 1 בנקודה B
גוף 1 (מטען \( q_1=-1.2\times10^{-8}\ \mathrm{C} \), מסה \( m_1=4\times10^{-4}\ \mathrm{kg} \)) מקבל בנקודה \( A \) מהירות \( v=1.5\ \mathrm{m/s} \) ימינה, וחולף בהמשך דרך \( B \). משתמשים בשימור אנרגיה (קינטית + פוטנציאלית חשמלית):
$$ \tfrac12m_1v_A^2+q_1V_A=\tfrac12m_1v_B^2+q_1V_B $$
$$ v_B^2=v_A^2+\frac{2q_1}{m_1}(V_A-V_B)=1.5^2+\frac{2\times(-1.2\times10^{-8})}{4\times10^{-4}}\times(50{,}000-40{,}000) $$
$$ v_B^2=2.25+(-6\times10^{-5})\times10{,}000=2.25-0.6=1.65 $$
$$ v_B=\sqrt{1.65}\approx1.28\ \mathrm{m/s} $$
ה. השוואת AC ל-AB
גוף 2 (מסה \( m_2=m_1 \), מטען \( q_2=-q_1 \), כלומר חיובי) מקבל בנקודה \( A \) את אותה מהירות ההתחלתית \( v=1.5\ \mathrm{m/s} \), הפעם שמאלה (לכיוון הקליפה), ומגיע לנקודה \( C \) במהירות השווה בגודלה לזו שחישבנו בסעיף ד (\( v_C^2=1.65 \)). משתמשים באותו שימור אנרגיה כדי למצוא את \( V_C \):
$$ v_C^2=v_A^2+\frac{2q_2}{m_2}(V_A-V_C) \quad\Rightarrow\quad 1.65=2.25+\frac{2\times(-(-1.2\times10^{-8}))}{4\times10^{-4}}(50{,}000-V_C) $$
פותרים ומקבלים \( V_C=60{,}000\ \mathrm{V} \) - כלומר \( C \) נמצאת על הקו שערכו \( 60\ \mathrm{kV} \), הקרוב יותר לקליפה מ-\( A \).
מחשבים את המרחקים מהמרכז \( O \), לפי \( r=kQ/V \) (כאשר \( kQ=R\cdot V(R)=0.3\times90{,}000=27{,}000 \)):
$$ OC=\frac{27{,}000}{60{,}000}=0.45\ \mathrm{m},\qquad OB=\frac{27{,}000}{40{,}000}=0.675\ \mathrm{m} $$
$$ AC=OA-OC=0.54-0.45=0.09\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{cm} $$
$$ AB=OB-OA=0.675-0.54=0.135\ \mathrm{m}=13.5\ \mathrm{cm} $$
לכן \( AC \) קטן מ-\( AB \). ההסבר לכך: ככל שמתקרבים לקליפה הטעונה, הפוטנציאל משתנה בחדות רבה יותר עם המרחק (השדה חזק יותר קרוב למטען) - ולכן אותו הפרש פוטנציאל (\( 10{,}000\ \mathrm{V} \)) מתקבל על פני מרחק קטן יותר קרוב לקליפה מאשר רחוק ממנה.