פוטנציאל של כדור טעון

פוטנציאל של כדור טעון

עבור גוף כדורי טעון (קליפה מוליכה, או כדור טעון בצפיפות אחידה), הפוטנציאל בכל נקודה במרחב תלוי אם הנקודה נמצאת מחוץ לכדור או בתוכו.

מחוץ לכדור (r > R)

מנקודת מבט חיצונית, הכדור הטעון "נראה" בדיוק כמו מטען נקודתי הממוקם במרכזו (תוצאה של חוק גאוס, בזכות הסימטריה הכדורית). הפוטנציאל מחוץ לכדור:

$$ V(r) = k\frac{Q}{r} \quad , \quad r > R $$

קליפה מוליכה דקה (כל המטען על פני השטח)

בתוך קליפה מוליכה, השדה החשמלי מתאפס (תוצאה נוספת של חוק גאוס - אין מטען כלוא בתוך מעטפת גאוס בפנים הקליפה). מכיוון שאין שדה, הפוטנציאל קבוע בכל הנקודות בתוך הקליפה, ושווה לערכו על פני הקליפה עצמה:

$$ V(r) = k\frac{Q}{R} \quad , \quad r \leq R $$

כדור טעון בצפיפות אחידה (לא מוליך)

אם הכדור טעון באופן אחיד לאורך כל נפחו (לא רק על פני השטח), השדה בתוכו אינו אפס - הוא גדל ליניארית עם r. הפוטנציאל בפנים הכדור, במקרה זה, נתון על ידי:

$$ V(r) = \frac{kQ}{2R^3}(3R^2 - r^2) \quad , \quad r \leq R $$

נקודת מפתח - רציפות הפוטנציאל

בשני המקרים, הפוטנציאל רציף בגבול הכדור (\( r=R \)) - שני הביטויים (החיצוני והפנימי) נותנים בדיוק אותו ערך שם, \( V(R)=k\frac{Q}{R} \). זהו כלל כללי: הפוטנציאל תמיד רציף במעברים בין תחומים, גם כאשר השדה עצמו (הנגזרת של הפוטנציאל) אינו רציף.